Distribusi Binomial Negatif

Pada halaman ini akan dibahas mengenai Distribusi Binomial Negatif. Semua informasi ini kami rangkum dari berbagai sumber. Semoga memberikan faedah bagi kita semua.

Distribusi binomial negatif adalah distribusi hasil percobaan bernoulli yang diulang sampai mendapatkan sukses ke-\(k\).

Fungsi Padat Peluang
\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle \binom{x-1}{k-1}p^k \left( 1-p\right)^{x-k} &\;\; x=k,k+1,k+2,... \\\\ 0 &\;\;\;\text{lainnya} \end{cases} \] Keterangan notasi:
\(p\) = peluang sukses
\(x\) = jumlah percobaan sampai mendapatkan sukses ke-\(k\)
\(k\) = jumlah sukses yang muncul

Mean

Mean dari distribusi binomial negatif adalah \( \displaystyle E(X) = \frac {k}{p}.\)

Bukti: \begin{align*} E(X)&= \sum_{x=k}^\infty xf(x) \\ &= \sum_{x=k}^\infty x \frac {(x-1)!}{(k-1)!(x-k)!}p^k \left( 1-p\right)^{x-k}\\ &= \sum_{x=k}^\infty \frac{kx!}{k!(x-k)!} \frac {p^{k+1}}{p}(1-p)^{x-k}\\ &= \frac {k}{p} \sum_{x=k}^\infty \frac{x!}{k!(x-k)!} p^{k+1} (1-p)^{x-k}\\ &= \frac {k}{p} \end{align*}

Varian

Varian dati distribusi binomial negatif adalah \( \displaystyle Var(X)=\frac {k(1-p)}{p^2}.\)

Bukti: \begin{align*} Var(X)&=E\left (\left[X-E(X)\right]^2\right )\\ &=E(X^2)-\left [E(X) \right ]^2 \end{align*} Untuk menyelesaikannya, tentukan bagian yang belum diketahui terlebih dahulu, yaitu \( E(X^2).\) \begin{align*} E(X^2) &= E(X^2)+E(X)-E(X)\\ &= E(X^2+X)-E(X)\\ &= E\left (X(X+1)\right )-E(X) \end{align*} Selesaikan bagian \( E\left ( X(X+1) \right ).\) \begin{align*} E(X(X+1)) &= \sum_{x=k}^\infty x(x+1)f(x)\\ &= \sum_{x=k}^\infty x(x+1) \frac {(x-1)!}{(k-1)!(x-k)!}p^k \left( 1-p\right)^{x-k}\\ &= \sum_{x=k}^\infty \frac {k(k+1)(x+1)!}{(k+1)!(x-k)!} \frac {p^{k+2}}{p^2} \left(1-p\right)^{x-k}\\ &= \frac {k(k+1)}{p^2} \sum_{x=k}^\infty \frac {(x+1)!}{(k+1)!(x-k)!} p^{k+2} \left(1-p\right)^{x-k}\\ &= \frac {k(k+1)}{p^2}\end{align*} Selanjutnya, \begin{align*} E(X^2) &= \frac {k(k+1)}{p^2} - \frac {k}{p}\\ &= \frac {k^2+k-kp}{p^2} \end{align*} Dengan demikian, \begin{align*} Var(X) &= \frac {k^2+k-kp}{p^2} - \left (\frac {k}{p} \right )^2\\ &= \frac {k(1-p)}{p^2} \end{align*}

Fungsi Pembangkit Momen (MGF)

Fungsi pembangkit momen distribusi binomial negatif adalah \( \displaystyle M_x(t)= \left ( \frac {pe^t}{1-(1-p)e^t} \right )^k\)

Bukti: \begin{align*} M_x(t) &= E(e^{tX}\\ &= \sum_{x=k}^\infty e^{tX} \frac {(x-1)!}{(k-1)!(x-k)!}p^k \left( 1-p \right )^{x-k}\\ &= \sum_{x=k}^\infty \frac {(x-1)!}{(k-1)!(x-k)!} \left ( pe^t \right )^k \left ( (1-p)e^t \right )^{x-k}\\ &= \left ( \frac {pe^t}{1-(1-p)e^t} \right )^k \sum_{x=k}^\infty \frac {(x-1)!}{(k-1)!(x-k)!} \left ( (1-p)e^t \right )^{x-k} \left ( 1-(1-p)e^t \right )^k\\ &= \left ( \frac {pe^t}{1-(1-p)e^t} \right )^k \end{align*}

Fungsi Karakteristik



Fungsi Pembangkit Peluang

Dalam: matematika

Share:

Anda Juga Bisa Baca