Sifat Sifat Turunan

Pada halaman ini akan dibahas mengenai Sifat Sifat Turunan. Semua informasi ini kami rangkum dari berbagai sumber. Semoga memberikan faedah bagi kita semua.

Misalkan \(f(x)\) adalah sebuah fungsi, maka turunannya adalah \(f'(x),\) dimana

\[f'(x)=\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

Turunan dapat diketahui melalui sifat-sifatnya. Berikut sifat-sifat dari turunan.

Sifat-sifat Turunan

1. Jika \(f(x)=c\) dimana \(c\) adalah konstanta, maka turunannya adalah \[f'(x)=0\]

Contoh: \[ \begin{aligned} f(x)&=2 &\rightarrow f'(x)=0\\ f(x)&=13 &\rightarrow f'(x)=0\\ f(x)&=100 &\rightarrow f'(x)=0 \end{aligned} \]

2. Jika \(f(x)=cx\), maka turunannya adalah \[f'(x)=c\]

Contoh: \[ \begin{aligned} f(x)&=2x &\rightarrow &f'(x)=2\\ f(x)&=13x &\rightarrow &f'(x)=13\\ f(x)&=100x &\rightarrow &f'(x)=100 \end{aligned} \]

3. Jika \(f(x)=x^n\) maka turunannya adalah \[f'(x)=nx^{n-1}\]

Contoh: \[ \begin{aligned} f(x)&=x^4 &\rightarrow &f'(x)=4x^3\\ f(x)&=x^3 &\rightarrow &f'(x)=3x^2\\ f(x)&=x^2 &\rightarrow &f'(x)=2x \end{aligned} \]

4. Jika \(f(x)=cx^n\)maka turunannya adalah \[f'(x)=cnx^{n-1}\]

Contoh: \[ \begin{aligned} f(x)&=2x^4 &\rightarrow &f'(x)=8x^3\\ f(x)&=13x^3 &\rightarrow &f'(x)=39x^2\\ f(x)&=100x^2 &\rightarrow &f'(x)=200x \end{aligned} \]

5. Jika \(f(x)=c\,u(x)\) maka turunannya adalah \[f'(x)=c\,u'(x)\]

Contoh: \[ \begin{aligned} f(x)&=4\ln{x}&\rightarrow &f'(x)=4\frac{1}{x}\\ f(x)&=3\cos{x}&\rightarrow &f'(x)=3\sin{x}\\ f(x)&=2\sin{x}&\rightarrow &f'(x)=-2\cos{x} \end{aligned} \]

6. Jika \(f(x)=u(x)\pm v(x)\) maka turunannya adalah \[f'(x)=u'(x)\pm v'(x)\]

Contoh: \[ \begin{aligned} f(x)&=2x+x^2&\rightarrow &f'(x)=2+2x\\ f(x)&=x^4-x^3&\rightarrow &f'(x)=4x^3-3x^2\\ f(x)&=\sin{x}+\cos{x}&\rightarrow &f'(x)=\cos{x}-\sin{x} \end{aligned} \]

7. Jika \(f(x)=u(x)v(x)\) maka turunannya adalah \[f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\]

Contoh: \[ f(x)=x^4x^3 \] Misalkan \(u(x)=x^4\) dan \(v(x)=x^3,\) maka \(u'(x)=4x^3\) dan \(v'(x)=3x^2,\) sehingga \[ \begin{aligned} f'(x)&=(4x^3)(x^3)+(x^4)(3x^2)\\ &=4x^6+3x^6\\ &=7x^6 \end{aligned} \]

8. Jika \(f(x)=\displaystyle\frac{u(x)}{v(x)}\) maka turunannya adalah \[f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}\]

Contoh: \[ f(x)=\frac{x^4}{x^3} \] Misalkan \(u(x)=x^4\) dan \(v(x)=x^3,\) maka \(u'(x)=4x^3\) dan \(v'(x)=3x^2,\) sehingga \[ \begin{aligned} f'(x)&=\frac{(4x^3)(x^3)-(x^4)(3x^2)}{(x^3)^2}\\ &=\frac{4x^6-3x^6}{x^6}\\ &=1 \end{aligned} \]

9. Jika \(f(x)={u(x)}^n\) maka turunannya adalah \[f'(x)=n(u(x))^{n-1}u'(x)\]

Contoh: \[ f(x)=(2x+x^2)^4 \] Misalkan \(u(x)=2x+x^2,\) sehingga \(u'(x)=2+2x,\) maka \[ f'(x)=4\left(2x+x^2\right)^3(2+2x) \]

Sifat-sifat Turunan Logaritma Natural

\[ \begin{aligned} f(x)&={^c}\log{x}&\rightarrow &f'(x)=\frac{1}{x}.{^c}\log e\\ f(x)&={^c}\log{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}.{^c}\log e \end{aligned} \] dimana \(e\) adalah bilangan euler yang nilainya adalah \(e=2\text{,}7182818.\)

Sifat-sifat Turunan Logaritma

\[ \begin{aligned} f(x)&=\sin{x}&\rightarrow&f'(x)=\cos{x}\\ f(x)&=\cos{x}&\rightarrow&f'(x)=-\sin{x}\\ f(x)&=\tan{x}&\rightarrow&f'(x)=\sec^2{x}\\ f(x)&=\cot{x}&\rightarrow&f'(x)=-\csc^2{x}\\ f(x)&=\sec{x}&\rightarrow&f'(x)=\sec{x}.\tan{x}\\ f(x)&=\csc{x}&\rightarrow&f'(x)=-\csc{x}.\cot{x} \end{aligned}\] Perluasan Turunan Fungsi Trigonometri \[ \begin{aligned} f(x)&=\sin{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=g'(x).\cos{g(x)}\\ f(x)&=\cos{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=g'(x).-\sin{g(x)}\\ f(x)&=\tan{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=g'(x).\sec^2{g(x)}\\ f(x)&=\cot{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=g'(x).-\csc^2{g(x)}\\ f(x)&=\sec{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=g'(x).\sec{g(x)}.\tan{g(x)}\\ f(x)&=\csc{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=g'(x).-\csc{g(x)}.\cot{g(x)} \end{aligned} \]

Dalam: matematika

Share:

Anda Juga Bisa Baca