Teorema Binomial

Pada halaman ini akan dibahas mengenai Teorema Binomial. Semua informasi ini kami rangkum dari berbagai sumber. Semoga memberikan faedah bagi kita semua.

Coba perhatikan penjumlahan berpangkat dua berikut ini \[ \begin{aligned} {(x+y)}^2&=(x+y)(x+y)\\&=x^2+2xy+y^2\\ &=\binom{2}{0}x^2+\binom{2}{1}xy+\binom{2}{2}y^2\\ &=\sum_{k=0}^2\binom{2}{k}x^{2-k}y^k \end{aligned} \] dan penjumlahan berpangkat tiga berikut ini \[ \begin{aligned} {(x+y)}^3&=(x+y)(x+y)(x+y)\\ &=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\\ &=\binom{3}{0}x^3+\binom{3}{1}x^2y+\binom{3}{2}xy^2+\binom{3}{3}y^3\\ &=\sum_{k=0}^3\binom{3}{k}x^{3-k}y^k \end{aligned} \] begitu seterusnya, sehingga untuk penjumlahan berpangkat \(n\) adalah \[ {(x+y)}^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}y^k \] Rumus di atas disebut juga dengan Rumus Teorema Binomial. Koefisien \(\binom{n}{k}\) disebut juga dengan koefisien binomial.

Deret Binomial

Coba perhatikan koefisien persamaan \(\binom{n}{k}\) di bawah ini. \[ \binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k-1)}{k!} \] koefisien tersebut berlaku untuk sembarang bilangan real \(n\) dan \(k\) bilangan buat positif. Oleh karena iu, Newton pada tahun 1665 menemukan Deret Binomial, yaitu \[ \begin{aligned} {(1+x)}^\alpha&=1+\binom{\alpha}{1}x+\binom{\alpha}{2}x^2+\cdots+\binom{\alpha}{n}x^n+\cdots\\ &=1+\sum_{k=1}^\infty\binom{\alpha}{k}x^k\\ \end{aligned} \] dimana \(p\) adalah bilangan real, \(k\) adalah bilangan bulat positif dan \(\left|x\right|<1.\)

Sifat-sifat Teorema Binomial

Kofisien binomial bersifat simetris hal ini ditunjukkan oleh \[ \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k} \]

Bukti: \[ \begin{aligned} \binom{n}{n-k}&=\frac{n!}{(n-n+k)!(n-k)!}\\ &=\frac{n!}{k!(n-k)!}\\ &=\binom{n}{k} \end{aligned} \]

\[ \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1} \]

\[ \sum_{r=0}^k\binom{m}{r}\binom{n}{k-r}=\binom{m+n}{k} \]

\[ \binom{n}{k}=\sum_{m=k-1}^{n-1}\binom{m}{k-1} \]

Dalam: matematika statistika

Share:

Anda Juga Bisa Baca