Fungsi Pembangkit Momen (MGF) Distribusi Binomial Negatif

Pada halaman ini akan dibahas mengenai Fungsi Pembangkit Momen (MGF) Distribusi Binomial Negatif. Semua informasi ini kami rangkum dari berbagai sumber. Semoga memberikan faedah bagi kita semua.

Fungsi peluang dari distribusi binomial negatif adalah

\[f(x)=\binom{x-1}{k-1}p^k(1-p)^{x-k}\]

Penjelaan mengenai distribusi binomial negatif dapat dilihat di artikel Binomial Negatif

Fungsi Pembangkit Moment

Moment Generating Fuction (MGF) dari distribusi binomial negatif adalah

\[M_x(t)=\left(\frac {pe^t}{1-(1-p)e^t}\right)^k\]

Bukti:

MGF diperoleh dari \(E(e^{tX}).\) \[ \begin{aligned} M_x(t) &= E(e^{tX})\\ &= \sum_{x=k}^\infty e^{tX} \frac {(x-1)!}{(k-1)!(x-k)!}p^k \left( 1-p \right )^{x-k}\\ &= \sum_{x=k}^\infty \frac {(x-1)!}{(k-1)!(x-k)!} \left ( pe^t \right )^k \left ( (1-p)e^t \right )^{x-k}\\ &= \left ( \frac {pe^t}{1-(1-p)e^t} \right )^k \sum_{x=k}^\infty \frac {(x-1)!}{(k-1)!(x-k)!} \left ( (1-p)e^t \right )^{x-k} \left ( 1-(1-p)e^t \right )^k\\ &= \left ( \frac {pe^t}{1-(1-p)e^t} \right )^k \end{aligned} \]

Mean

Mean dari distribusi binomial negatif adalah

\[\mu=\frac{k}{p}\]

Bukti:

Mean diperoleh dari turunan pertama dari MGF. Turunan pertama MGF distribusi binomial negatif adalah \[M'(t)=\frac{\left[1-(1-p)e^t\right]^k k\left(pe^t\right)^{k-1}pe^t-\left(pe^t\right)^k k\left[1-(1-p)e^t\right]^{k-1}\left[-(1-p)e^t\right]}{\left[1-(1-p)e^t\right]^{2k}}\] Mean adalah \(M'(0).\) \[ \begin{aligned} \mu&=M'(0)\\ &=\frac{[1-(1-p)]^k kp^{k-1}p+p^k k[1-(1-p)]^{k-1}(1-p)}{[1-(1-p)]^{2k}}\\ &=\frac{p^kkp^kp^{-1}p+p^kkp^kp{-1}(1-p)}{p^{2k}}\\ &=\frac{k}{p} \end{aligned} \]

Varian

Varian dari distribusi binomial negatif adalah

\[\sigma^2=\frac{k(1-p)}{p^2}\]

Varian diperoleh dai turunan pertama dan kedua MGF, dimana varian adalah \[ \sigma^2=M''(0)+(M'(0))^2 \] Turunan kedua MGF distribusi binomial negatif adalah \[ M''(t)=k(pe^t)^k(-k-1)[1-(1-p)e^t]^{-k-2}[-(1-p)e^t]+k^2(pe^t)^{k-1}(pe^t)[1-(1-p)e^t]^{-k-1} \] dan \[ M''(0)=\frac{k(k+1-p)}{p^2}\] Sehingga variannya adalah \[ \begin{aligned} \sigma^2&=M''(0)-(M'(0))^2\\ &=\frac{k(k+1-p)}{p^2}-\frac{k^2}{p^2}\\ &=\frac{k(1-p)}{p^2} \end{aligned} \] Sebagai perbandingan untuk artikel ini, baca juga artikel Nilai Harapan Distribusi Binomial Negatif.

Dalam: matematika statistika

Share:

Anda Juga Bisa Baca