Pada halaman ini akan dibahas mengenai Varian dan Standar Deviasi Data Berkelompok. Semua informasi ini kami rangkum dari berbagai sumber. Semoga memberikan faedah bagi kita semua.
Rumus varian dan standar deviasi data berkelompok tidak jauh berbeda dengan rumus varian dan standar deviasi data tunggal. Berikut adalah varian dan standar deviasi untuk data berkelompok.
Rumus Varian\[ \begin{align*} s^2 &= \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{k}f_i\left (x_i-\bar {x} \right )^2\\ &= \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} f_ix_i^2-\frac{\left (\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_ix_i \right )^2}{n}}{n-1} \end{align*} \] Rumus Standar Deviasi\[ \begin{align*} s &= \sqrt{ \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{k}f_i\left (x_i-\bar {x} \right )^2}\\ &= \sqrt{\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} f_ix_i^2-\frac{\left (\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_ix_i \right )^2}{n}}{n-1}} \end{align*} \] Contoh Penghitungan
Misalnya diberikan data seperti pada contoh penghitungan pada artikel Rata-rata Data Berkelompok, yaitu:
Hitunglah varian dan standar deviasi data tersebut!
Jawab:
Dari soal telah diketahui kelas-kelas interval dan frekuensi tiap kelas interval $(f_i)$. Selanjutnya, dibuat kembali tabel untuk memperoleh banyaknya data $(n), $titik tengah $(x_i)$, $f_ix_i$ dan $f_ix_i^2.$
Dari tabel di atas, diperoleh: \[ \begin{align*} n &= 21 \\ \displaystyle \sum_{i=1}^{k}f_ix_i &= 3458\\ \displaystyle \sum_{i=1}^{k} f_ix_i^2 &= 570634 \end{align*} \] Dari data-data tersebut dapat diperoleh varian data berkelompok, yaitu \[ \begin{align*} s^2 &= \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} f_ix_i^2-\frac{\left (\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_ix_i \right )^2}{n}}{n-1}\\ &= \frac{570634-\frac{\left (3458 \right )^2}{21}}{21-1}\\ &= 60\text{,}83 \end{align*} \] Selanjutnya, karena standar deviasi merupakan akar kuadrat dari varian, maka standar deviasi data berkelompok adalah \[ \begin{align*} s &= \sqrt{s^2} \\ &= \sqrt{60\text{,}83}\\ &= 7\text{,}80 \end{align*} \]
Rumus Varian\[ \begin{align*} s^2 &= \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{k}f_i\left (x_i-\bar {x} \right )^2\\ &= \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} f_ix_i^2-\frac{\left (\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_ix_i \right )^2}{n}}{n-1} \end{align*} \] Rumus Standar Deviasi\[ \begin{align*} s &= \sqrt{ \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{k}f_i\left (x_i-\bar {x} \right )^2}\\ &= \sqrt{\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} f_ix_i^2-\frac{\left (\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_ix_i \right )^2}{n}}{n-1}} \end{align*} \] Contoh Penghitungan
Misalnya diberikan data seperti pada contoh penghitungan pada artikel Rata-rata Data Berkelompok, yaitu:
| Tinggi Badan | Frekuensi $(f_i)$ |
|---|---|
| 151 - 155 | 3 |
| 156 - 160 | 4 |
| 161 - 165 | 4 |
| 166 - 170 | 5 |
| 171 - 175 | 3 |
| 176 - 180 | 2 |
Hitunglah varian dan standar deviasi data tersebut!
Jawab:
Dari soal telah diketahui kelas-kelas interval dan frekuensi tiap kelas interval $(f_i)$. Selanjutnya, dibuat kembali tabel untuk memperoleh banyaknya data $(n), $titik tengah $(x_i)$, $f_ix_i$ dan $f_ix_i^2.$
| $x_i$ | $f_i$ | $(f_ix_i)$ | $(f_ix_i^2)$ |
|---|---|---|---|
| 153 | 3 | 459 | 70277 |
| 158 | 4 | 632 | 99856 |
| 163 | 4 | 652 | 106276 |
| 168 | 5 | 840 | 141120 |
| 173 | 3 | 519 | 89787 |
| 178 | 2 | 356 | 63368 |
| 21 | 3458 | 570634 |
Dari tabel di atas, diperoleh: \[ \begin{align*} n &= 21 \\ \displaystyle \sum_{i=1}^{k}f_ix_i &= 3458\\ \displaystyle \sum_{i=1}^{k} f_ix_i^2 &= 570634 \end{align*} \] Dari data-data tersebut dapat diperoleh varian data berkelompok, yaitu \[ \begin{align*} s^2 &= \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} f_ix_i^2-\frac{\left (\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_ix_i \right )^2}{n}}{n-1}\\ &= \frac{570634-\frac{\left (3458 \right )^2}{21}}{21-1}\\ &= 60\text{,}83 \end{align*} \] Selanjutnya, karena standar deviasi merupakan akar kuadrat dari varian, maka standar deviasi data berkelompok adalah \[ \begin{align*} s &= \sqrt{s^2} \\ &= \sqrt{60\text{,}83}\\ &= 7\text{,}80 \end{align*} \]
Tidak ada komentar:
Posting Komentar