Kecepatan sudut dan percepatan sudut

Gambar 2: Suatu partikel melakukan gerak rotasi dari titik A ke titik B

Kelajuan sudut rata-rata didefinisikan sebagai perbandingan perpindahan sudut benda kaku dengan interval ∆t selama perpindahan tersebut terjadi:

Sebagai analog dengan kecepatan linear, kelajuan sudut sesaat, ω didefinisikan sebagai limit perbandingan ∆θ/∆t seiring ∆t mendekati nol

Kelajuan sudut memiliki satuan radian/detik (rad/s), yang dapat juga ditulis dengan detik^-1 (s^-1) karena radian tidak berdimensi. Nilai ω akan positif jika θ bertambah (gerakan berlawanan arah jarum jam, gambar 2) dan negatif jika θ berkurang (gerakan berlawanan jarum jam).

Jika kelajuan sudut sesaat dari sebuah benda berubah dari ω₁ ke ω₂ selama interval waktu ∆t, maka benda tersebut memilki percepatan sudut. Percepatan sudut rata-rata α ̅ (huruf yunani alfa) dari
benda kaku yang berotasi didefinisikan sebagai perbandingan perubahan kelajuan sudut selama interval waktu ∆t di mana perubahan kelajuan itu terjadi:

Jika dibandingkan dengan percepatan linear, percepatan sudut sesaat didefinisikan sebagai limit perbandingan ∆ω/∆t di mana ∆t mendekati nol:

 

Percepatan sudut memiliki satuan radian per detik (rad.s^-2) atau detik^-2 (s^-2). Perhatikan bahwa α bernilai positif jika benda kaku yang berputar berlawanan arah jarum jam semakin cepat atau jika benda kaku yang berputar searah jarum jam semakin lambat selama suatu interval waktu.

Jika sebuah benda kaku berputar pada sumbu yang tetap, setiap partikel pada benda itu berputar sejauh sudut yang saman dalam selang waktu tertentu serta memiliki kelajuan sudut dan percepatan sudut yang sama. Oleh karena itu, besaran θ, ω dan α menggambarkan gerak rotasi dari seluruh benda kaku seperti halnya satu partikel dalam benda tersebut. Dengan menggunakan besaran-besaran ini, kita dapat menyederhanakan analisis rotasi benda kaku.

Arah kelajuan sudut dan percepatan sudutKita belum menentukan arah kelajuan sudut dan percepatan sudut. Sebenarnya, ω dan α merupakan besar dari vektor kecepatan sudut dan percepatan sudut ω dan α, dan nilainya pasti selalu positif. Meskipun demikian, karena kita menganggap rotasinya terhadap sumbu tetap, kita dapat menggunakan notasi nonvektor dan menunjukkan arah vektornya dengan memberi tanda positif atau negatif pada ω dan α. Untuk rotasi terhadap sumbu tetap, satu-satunya arah yang secara khusus menunjukkan gerak rotasinya adalah arah sepanjang sumbu rotasinya. Oleh karena itu, arah ω dan α adalah sepanjang sumbu ini. Jika sebuah benda berotasi di bidang xy seperti pada gambar 1, arah ω adalah keluar dari bidang diagram jika rotasinya berlawanan arah jarum jam, dan ke dalam bidang diagram jika rotasinya searah jarum jam. Untuk menggambarkan aturan ini, akan lebih mudah jika kita gunakan aturan tangan kanan yang ditunjukkan pada gambar 3. Jika keempat jari tangan kanan searah dengan rotasinya, maka arah jempol menunjukkan arah ω. Arah α diturunkan dari definisi α = dω/dt. Arahnya sama dengan ω jika kelajuan sudutnya meningkat dan sejajar, tetapi berlawanan arah ω jika kelajuan sudutnya menurun.

Gambar 3: Aturan tangan kanan untuk menentukan arah vektor kecepatan sudut

CATATAN: meskipun kita tidak buktika di sini, kecepatan sudut sesaat dan percepatan sudut sesaat adalah besaran vektor, tetapi nilai rata-rata dari keduanya bukanlah besaran vektor. Hal ini disebabkan karena perpindahan sudut tidak dapat dijadikan besaran vektor untuk rotasi yang jumlahnya terbatas.

Posisi sudut

Gambar di bawah ini memperlihatkan tampak atas dari sebuah CD yang berputar. Keping cakram ini berputar pada sumbu O. Sumbu ini tegak lurus terhadap bidang dari gambar 1.

Gambar 1: CD berotasi pada sumbu O

Mari kita selidiki gerakan sala satu dari jutaan partikel dari partikel penyusun CD. Sebuah partikel P berjarak r dari pusat dan berputar dalam lingkaran berjari-jari r. (Sebenarnya, seluruh partikel pada cakram mengalami gerak rotasi terhadap O). Akan lebih mudah jika posisi P diwakili dengan koordinat polar/kutub (r, θ), di mana r adalah jarak dari pusat ke P dan θ diukur berlawanan arah jarum jam dari sebuah acuan garis acuan, seperti pada gambar. Dalam hal ini satu-satunya koordinat partikel yang berubah seiring waktu adalah sudut θ, sedangkan r tetap. Saat partikel bergerak memutar dari garis acuan (θ = 0), ia bergerak melalui sebuah busur sepanjang s, seperti gambar. Hubungan panjang busur s dan besar sudut θ adalah sebagai berikut

Perhatikan bahwa dimensi θ pada persamaan di atas adalah ratio dari panjang busur dan jari-jari lingkaran, maka θ merupakan angka murni. Meskipun demikian kita biasanya menyertakan satuan radian (rad) untuk θ, di mana

Satu radian merupakan sudut yang dibentuk oleh panjang busur yang sama dengan jari-jari busur tersebut.

Oleh karena keliling lingkaran adalah 2πr, maka persamaan sebelumnya sudut 360⁰ akan sama dengan (2πr/r) rad = 2π rad. (Perhatikan juga bahwa 2π rad sama dengan satu putaran penuh.) Oleh karena itu, 1 rad = 360⁰/2π ≅ 57,3⁰. Untuk mengubah sebuah sudut dalam derajat menjadi radian, kita gunakan persamaan π rad = 180⁰, atau

Sebagai contoh, 60⁰ sama dengan π/3 rad dan 45⁰ sama dengan π/4 rad.
Oleh karena CD merupakan benda kaku jadi saat partikel CD bergerak sepanjang lingkaran dari garis acuan maka setiap partikel lainnya juga bergerak melalui sudut θ yang sama. Jadi, kita dapat menghubungkan sudut θ dengan seluruh benda kaku seperti halnya dengan sebuah partikel. Hal ini memungkinkan kita untuk mendefinisikan posisi sudut dari sebuah benda kaku pada saat melakukan gerak rotasi. Kita pilih sebuah garis acuannya berupa garis yang menghubungkan O dengan partikel tersebut. Posisi sudut benda kaku adalah sudut θ antara garis acuan dan garis yang sering disebut sumbu x.  Cara yang sama dilakukan untuk mengidentifikasi posisi benda pada gerak translasi, jarak x antara benda dan posisi asal, x = 0.
Saat partikel pada benda kaku bergerak dari posisi A ke B selama interval waktu ∆t seperti gambar 2. Garis acuan dengan panjang r melalui sudut ∆θ = θ_f – θ_i. Besar ∆θ didefinisikan sebagai perpindahan sudut benda kaku:

∆θ = θ_f – θ_i

Energi kinetik Rotasi

Energi Kinetik Rotasi
Anggap suatu partikel bergerak melingkar beraturan dengan kecepatan sudut ω. Kecepatan singgung partikel adalah v = ωr. Energy kinetic partikel ini adalah Ek = ½ mv². Dengan mensubtitusikan v kita peroleh rumus energy kinetic partikel ini,

 

Karena mr² merupakan momen inersia partikel maka,

Dalam kasus ini pertikel hanya bergerak melingkar saja, sehingga rumus energy di atas adalah rumus energy kinetic untuk gerak rotasi. Satuan energy kinetic rotasi adalah Joule. Persamaan di atas berlaku juga untuk benda pejal.

Energi kinetik benda menggelinding!

Jika suatu benda tegar bergerak translasi dalam suatu ruang sambil berotasi, disebut gerak menggelinding (lihat gambar), total energi kinetiknya adalah jumlah energi kinetik translasi dan rotasinya. Energi kinetik translasi dihitung berdasarkan anggapan bahwa benda adalah suatu partikel yang kelajuan linearnya sama dengan kelajuan pusat massa. Energi kinetik rotasi dihitung berdasarkan anggapan bahwa benda tegar berotasi terhadap poros yang melalui pusat massa. Dengan demikian, energi kinetik benda yang menggelinding diformulasikan sebagai

  

Dengan v = kecepatan pusat massa, I = momen inersia benda tegar dan ω = kecepatan sudut terhadap poros.

Contoh Soal:

sebuah benda tegar dilepaskan tanpa kecepatan awal dari sebuah bidang miring kasar. Benda tersebut menggelinding tanpa slip sampai dasar bidang miring yang ketinggiannya h. Tentukan kecepatan benda tegar di dasar bidang miring!!

 

Jawab:

Benda tegar yang bergerak menggelinding di dasar bidang miring energi kinetiknya adalah gabungan dari energi kinetik translasi dan rotasi, maka dengan menerapkan konsep hukum kekekalan energi mekanik memberikan

 

jika benda tegar yang menggelinding dari soal di atas adalah silinder pejal maka, k = 1/2 dan jika bola pejal maka k = 2/5, maka kecepatan di dasar bidang miring untuk masing-masing benda tersebut jika dilepaskan dari ketinggian yang sama h adalah

 

dari hasil di atas dapat kita simpulkan bahwa, jika silinder pejal dan bola pejal dilepaskan menggelinding dari bidang miring yang ketinggiannya sama, bola pejal akan sampai di dasar lebih dahulu daripada silinder pejal.

Hubungan antara momen gaya dengan percepatan sudut

Gambar di atas melukiskan sebuah partikel bermassa m yang diberi gaya F tegak lurus jari-jari. Menurut hukum Newton benda akan dipercepat dengan percepatan searah dengan gaya. Percepatan ini dinamakan percepatan tangensial (percepatan singgung), α. Hubungan antara gaya dan percepatan ini adalah:

 F = ma

Karena percepatan singgung a = αr maka

 F = m(αr)

Sekarang kalikan kedua ruas dengan r dan selanjutnya gunakan definisi τ = rF untuk memperoleh hubungan antara momen gaya dengan percepatan sudut
rF = rm(αr)
τ = (mr²)α
karena momen inersia partikel adalah I = mr² maka

τ = Iα

Rumus di atas mirip dengan hukum Newton II (F = ma). Di sini τ berperan seperti gaya gerak translasi dan α berperan sebagai percepatan pada gerak translasi. Bagaimana dengan I? I mempunyai peran seperti massa, semakin besar I semakin sukar berputar (mirip dengan gerak translasi, benda bermassa besar sukar digerakan/dipercepat).

Contoh Soal!

seutas tali yang massanya dapat diabaikan, digulung pada silinder kemudian sebuah ember yang berisi air yang memiliki massa total  diikat pada ujung tali seperti gambar! tentukan: (a) percepatan ember ketika sistem dilepas, (b) tegangan tali dan (c) percepatan sudut!

Jawab:

Perhatikan sistem gaya yang bekerja pada benda m. Pada benda bekerja gaya mg ke bawah dan gaya t ke atas. Menurut hukum II Newton (arah ke bawah kita ambil arah positif):

 

Tegangan tali memberikan momen gaya yang menggerakan katrol sehingga berputar dipercepat. Momen gaya ini adalah τ = TR dengan R menyatakan lengan momen. Percepatan sudut yang timbul dapat dihubungkan dengan α menurut rumus a = αR. Dengan rumus τ = Iα dan mensubtitusikan T dari persamaan τ = TR kita akan peroleh:

                            

 Dari (*) dan (**) kita peroleh,

Tegangan tali dapat kita peroleh dari persamaan (**), yaitu

 

Percepatan sudut yang dialami katrol adalah

Momen Inersia

Pada hukum I Newton kita telah memahami bahwa setiap benda mempunyai kecendrungan untuk tetap diam atau bergerak lurus beraturan (mempertahankan posisi atau keadaannya).
Kecendrungan ini dinamakan inersia ukuran yang menyatakan kecendrungan ini dinamakan massa.

Dalam gerak rotasi tiap-tiap benda mempunyai kecendrungan untuk mempertahankan posisi atau keadaannya. Misalnya rotasi bumi (perputaran bumi pada sumbunya), dari semenjak bumi diciptakan hingga sekarang bumi senantiasa berotasi dan tidak pernah berhenti (jika bumi berhenti berotasi berarti suatu bencana karena tidak ada pertukaran siang dan malam lagi). Kecendrungan seperti ini dinamakan inersia rotasi. Ukuran untuk menyatakan besarnya kecendrungan ini kita namakan momen inersia.

Berbeda dengan massa benda yang hanya tergantung pada jumlah kandungan zat di dalam benda tersebut, momen inersia di samping tergantung pada jumlah kandungan zat (massa benda) juga tergantung pada bagaimana zat-zat atau massa ini terdistribusi. Semakin jauh distribusi massa dari pusat rotasi semakin besar momen inersianya.

Momen Inersia Partikel

Momen inersia, I, suatu partikel atau benda titik terhadap sumbu putarnya di definisikan sebagai perkalian massa partikel, m dengan kuadrat jarak partikel r dari sumbu putar.

Momen inersia dari sistem beberapa partikel dapat dihitung dengan menjumlahkan momen inersia tiap-tiap partikel.

Satuan momen inersia adalah kg.m².

Contoh soal

Tiga buah massa m_A (2 kg), m_B (1 kg) dan m_C (1 kg) diletakan pada sebuah segitiga sama kaki dengan ukuran seperti pada gambar. Hitunglah momen inersia sistem terhadap sumbu putar berikut ini:

(a) Melalui massa A dan B
(b) Melalui titik D tegak lurus bidang xy
 
Jawab:
(a) Jika sumbu putar melalui A dan B:
Dalam kasus ini massa pada A dan B tidak memberi kontribusi pada momen inersia karena kedua massa ini dilalui sumbu putar. Momen inersia hanya berasal dari massa di titik C. rc = 2 m adalah jarak sumbu putar dengan mc. maka

 (b) buktikan sendiri!

 

Momen Inersia Benda Tegar

Momen inresia benda tegar terhadap suatu sumbu putar didefinisikan sebagai jumlah momen inersia setiap partikel dalam benda itu.

Karena benda tegar mempunyai struktur kontinu (atom-atomnya sangat berdekatan sehingga dapat dikatakan saling bersambungan) maka rumus jumlah itu boleh diganti dengan rumus integral.

Dengan dm menyatakan elemen kecil dari benda yang terletak pada jarak r dari sumbu putar. Untuk membutikkan ini kita hitung momen inersia suatu batang yang diputar di pusat massanya.

Gambar sebuah batang pejal panjang L dan massa M yang berputar melalui titik tengahnya. Jika batang ini di bagi 10 bagian dan masing-masing bagian panjangnya L/10 dan massanya M/10. Jika kita namakan ke 10 batang itu dengan 1,2,3, …,10 maka jarak batang-batang ini ke sumbu putar adalah r₁ = r₁₀ = 0,45L; r₂ = r₉ = 0,35L; r₃ = r₈ = 0,25L; r₄ = r₇ = 0,15L; r₅ = r₆ 0,05L. Selanjutnya kita hitung momen inersia ke 10 keping ini yaitu:

Jika dibagi kepng menjadi bagian-bagian yang lebih kecil lagi, kita akan memperoleh besarnya I hampir mendekati 1/12 ML². Hasil ini dapat diperoleh dengan rumus intergral seperti ditunjukkan di bawah ini.

Gambar di samping menggambarkan teknik perhitungan momen inersia dengan metode integral. Pada gambar kita memilih sembarang elemen dengan massa dm dan jaraknya r dari sumbu putar. Jika panjang elemen dr maka dengan menggunakan rumus integral kita peroleh:

Jika r = 0 adalah tengah-tengah batang maka batas integral adalah dari r = -L/2 sampai r = L/2. Sehingga besar momen inersia batang adalah:

 

tabel di bawah ini merupakan benbagai bentuk benda dengan momen inersianya jika benda diputar pada sumbu putar seperti pada gambar.Teorema sumbu Sejajar

Dalam fisika, teorema sumbu sejajar atau teorema Huygens-Steiner dapat digunakan untuk menentukan momen inersia sebuah benda tegar di terhadap sumbu apapun, bila diketahui momen inersia suatu objek terhadap sumbu yang melalui pusat massa yang sejajar dengan sumbu pertama, serta jarak tegaklurus antara kedua sumbu tersebut.

Misalkan:
I_cm melambangkan momen inersia suatu objek terhadap pusat massanya
M adalah massa objek dan d jarak tegaklurus antara kedua sumbu
Maka momen inersia di sekitar sumbu baru z diberikan oleh:

 

Contoh soal:
Hitung momen inersia suatu batang yang diputar pada suatu sumbu yang melalui satu titik di ujung batang. Anggap panjang batang L dan massa batang M. (lihat gambar atas)

jawab:
pusat massa batang terletak pada tengah-tengah batang, sehingga jarak pusat massa terhadap sumbu putar d = 1/2L. Karena momen inersia terhadap pusat massa

 

Maka momen inersia terhadap salah satu ujung batang adalah 

 

Gerakan Menggelinding

Gerakan menggelinding (bergulir tanpa slip) sebuah bola atau roda banyak kita temui dalam kehidupan sehari-hari: sebuah bola menggelinding melintasi lantai, atau roda dan ban mobil atau sepedaberputar sepanjang jalan. Menggelinding tanpa slip bisa langsung dianalisis dan bergantung pada gesekan statis antara benda yang menggelinding dan lantai. Gesekan bersifat statik karena titik kontak benda yang menggelinding dengan lantai berada dalam keadaan diam pada setiap saat. (gesekan kinetis berlaku jika, sebagai contoh, Anda mengerem terlalu keras sehingga ban slip, atau Anda mempercepat sedemikian cepat sehingga Anda "membakar karet", tetapi ini situasi yang lebih rumit).

Bergulir tanpa slip melibatkan rotasi dan translasi. Tetapi ada hubungan sederhana antara laju linear v sumbu rotasi roda dan kecepatan sudut ω dari roda atau bola yang menggelinding yaitu v = ωr, di mana r adalah radius (jari-jari) benda yang berotasi.

Gambar 1

Gambar (1a) menunjukkan sebuah roda yang menggelinding ke kanan tanpa slip. Pada saat yang digambarkan, titip P pada roda bersentuhan dengan tanah dan berada dalam keadaan diam untuk sesaat. Kecepatan sumbu roda pada pusat C adalah v. Pada gambar 1b kita menenpatkan diri pada kerangka acuan roda yaitu, kita bergerak ke kanan dengan kecepatan v relatif terhadap tanah.  Pada kerangka acuan ini sumbu C berada dalam keadaan diam, sementara tanah dan titik P bergerak ke kiri dengan kecepatan -v sebagaimana yang digambarkan. Di sini kita melihat rotasi murni. Jadi kita bisa menggunakan v = ωr. 

Gambar 2

bagaimana membedakan gerak translasi, rotasi dan gerak menggelinding?
Gambar di atas dapat kita pakai untuk menjelaskannya. Jika roda sepeda bergerak translasi saja maka semua partikel pada roda: di titik kontak dengan jalan P, v_P di titik pusat massa (pm), v_pm dan di titik Q, v_Q memiliki kecepatan yang sama. Jadi v_P = v_pm = v_Q = v, seperti pada gambar (b).
Jika roda sepeda bergerak rotasi saja maka partikel-partikel berotasi terhadap pusat massa dengan kecepatan sudut ω. Kecepatan partikel pada pusat massa adalah nol (v_pm = 0) sedangkan kecepatan partikel di titik kontak P dan titik ujung Q besarnya sama (v_P =  v_Q = v) tetapi arahnya berlawanan, seperti gambar (c).
Jika pada saat menggelinding tidak terjadi slip pada titik kontak P maka gerak translasi dan rotasi terjadi pada saat yang bersamaan. Peristiwa ini disebut menggelinding murni. Pada saat menggelinding partikel-partikel di titik kontak P tidak memiliki kecepatan (v_P = 0) dan titik P dianggap sebagai poros sesaat. Misalnya kecepatan pada pusat massa v_pm = v, bagaimanakah dengan kecepatan partikel di ujung Q? untuk P sebagai poros sesaat maka kecepatan sudut pusat massa terhadap poros sesaat P dan oleh titik Q terhadap poros sesaat P haruslah sama, yaitu ω. Jadi

Definisi Momen Gaya (Torsi)

Pada gerak rotasi, sesuatu yang menyebabkan benda untuk berotasi atau berputar disebut momen gaya atau torsi. Konsep torsi dapat dilihat pada saat kita membuka pintu atau jendela. Cobalah membuka jendela dari bagian yang dekat dengan engsel. Bagaimanakah gaya yang kamu keluarkan? Sekarang, cobalah kembali membuka jendela dari bagian paling jauh dari engsel. Bandingkan gaya yang diperlukan antara dua perlakuan tersebut. Tentu saja membuka jendela dengan cara mendorong bagian yang jauh dari engsel lebih mudah dibandingkan dengan mendorong bagian yang dekat dari engsel.

dari gambar di atas anda akan melihat bahwa  jendela akan berputar lebih cepat di (c) dibandingkan dengan di (b) atau (a). Di (c) jendela tidak akan berputar. Di (a) dan (b) jendela akan berputar lebih cepat jika gaya diperbesar. Pengamatan yang lebih teliti menunjukkan bahwa percepatan sudut jendela ternyata tidak hanya sebanding dengan besar gaya tetapi juga sebanding dengan lengan momen, l yang didefinisikan sebagai jarak tegak lurus sumbu rotasi ke garis yang sejajar dengan arah gaya (perhatikan gambar (c)). Pada (a) jendela tidak berputar walaupun kita mendorong sekeras mungkin, hal ini disebabkan lengan momen sama dengan nol, (l = 0).

Perkalian antara gaya dengan lengan momen didefisikan sebagai momen gaya yang diberi simbol di baca: (tau).

Secara umum jika kita memberi gaya pada suatu jendela (gambar (b)) di mana titik tangkap terletak pada jarak r dari pusat putaran (engsel) dan arah gaya membentuk sudut dengan vektor r, momen gayanya adalah:

 

atau dalam bentuk vektor,

 arah momen gaya dicari dengan aturan tangan kanan. Lipat keempat jari selain ibu jari dari arah r (arah radial) ke arah F, arah perjanjian yang umum dipakai kita mengambil arah momen gaya positif jika benda cenderung berputar berlawanan arah  dengan putaran jarum jam dan negatif jika benda cenderung berputar searah dengan putaran jarum jam.

catatan: Perjanjian di atas tidak berlaku mutlak, kita mengambil perjanjian di atas dengan alasan bahwa sudut puta selalu diambil dari arah sumbu x memutar berlawanan arah dengan jarum jam. Jika putarannya searah dengan jarum jam biasanya sudut putar diambil negatif.
satuan momen gaya adalah Newton. meter atau disingkat N.m.

Soal 1
Hitunglah besar torsi yang disebabkan gaya-gaya seperti tampak pada gambar (a), (b) dan (c) di atas, dengan besar gaya 10 N dan lebar jendela 2 m. 

  

Jawab: 

dari gambar tampak bahwa, lengan momen untuk masing-masing gambar adalah

dengan menggunakan rumus sebelumnya kita dapat menghitung momen gaya pada tiap-tiap keadaan