Bilangan Kuantum magnetik spin

Selain bilangan kuantum n, l dan m_l masih terdapat bilangan kuantum yang lain yaitu bilangan kuantum magnetik spin, yang diberi simbol m_s. Bilangan kuantum magnetik spin berhubungan erat dengan momentum sudut intrinsik elektron.

Momentum sudut intrinsik adalah momentum sudut yang terdapat di dalam elektron itu sendiri. Momentum sudut intrinsik sering disebut spin (rotasi) elektron. Momentum sudut intrinsik elektron ini tergantung pada momentum sudut orbital elektron.

Bilangan kuantum spin mula-mula diperkenalkan oleh Wolfgang Pauli. Waktu itu pauli mengamati spektrum atom hidrogen dengan alat yang ketelitiannya sangat tinggi.

Ia menemukan keanehan bahwa setiap garis pada spektrum atom hidrogen ternyata merupakan dua garis yang sangat berdekatan. Misalnya, garis deret Balmer yang berasal dari transisi n = 3 ke n= 2 (panjang gelombangnya 656,3 nm), sebenarnya merupakan dua garis yang berdekatan sekali (terpisah hanya pada jarak 0,14 nm).

Menurut Pauli kedua garis ini pastilah berasal dari transisi dua tingkat energi yang sangat berdekatan. Pauli menduga bahwa kedua tingkat energi berhubungan dengan momentum sudut intrinsik elektron yang berbeda dengan momentum sudut orbital.

Gambar 1: elektron diandaikan sebagai bola pejal yang berotasi terhadap porosnya

Gambar 2: momentum sudut intrinsik

Gerakan elektron mengelilingi inti atom akan menghasilkan medan magnetik. Medan magnetik ini akan berinteraksi dengan medan magnetik akibat momentum sudut intrinsik elektron. Hasil interaksi ini menyebabkan efek Zeeman internal, di mana garis-garis spektral akan terpecah menjadi dua. Pauli menyebutkan bilangan kuantum yang berhubungan dengan momentum sudut intrinsik elektron ini dengan nama bilangan kuantum magnetik spin yang memiliki nilai: m_s = ½ dan m_s = – ½.

Untuk menjelaskan lebih lanjut ide dari Pauli, Goudsmith dan Uhlenbeck memisalkan elektron seperti bola pejal bermuatan, gambar 1. Momentum sudut intrinsik elektron dianggapnya sebagai akibat rotasi elektron terhadap sumbunya (seperti rotasi bumi). Pada waktu elektron berotasi berlawanan dengan gerak jarum jam, elektron mempunyai bilangan kuantum magnetik m_s = +1/2 dan ketika berotasi searah jarum jam m_s = -1/2.

Besarnya momentum sudut intrinsik atau spin (rotasi) elektron ini diberikan oleh rumus

Dengan s = ½ (s dinamakan bilangan kuantum spin). Proyeksi spin elektron ini pada sumbu z diberikan oleh

Dengan m_s menyatakan bilangan kuantum magnetik spin. Menurut Goudsmith dan Uhlenbeck, momen magnetik akibat spin elektron diberikan oleh rumus:

Medan magnet akibat spin elektron ini akan berinteraksi dengan medan magnetik akibat gerakan orbit elektron. Jika medan magnetik akibat gerakan orbit adalah B (berarah ke sumbu z) maka energi akibat interaksi ini adalah (analog dengan penurunan efek Zeeman):

Karena m_s mempunyai dua harga yaitu m_s = ±1/2, maka tingkat energi elektron pecah menjadi dua:

Sebenarnya anggapan elektron seperti bola pejal yang berotasi tidak dapat dibenarkan. Model ini akan memberikan kecepatan rotasi elektron menjadi beberapa kali kecepatan cahaya.

Anggapa modern mengatakan bahwa spin elektron disebabkan aliran energi yang timbul akibat gelombang elektron (ingat konsep partikel-gelombang de Broglie). Walaupun demikian, gambaran elektron sebagai bola pejal yang berotasi masih sering dipakai untuk menyederhanakan persoalan.

Selain elektron, contoh partikel lain yang mempunyai spin adalah proton dan neutron.  Besar spin proton dan neutron sama dengan spin elektron, yaitu:

(bilangan kuantum spin proton dan neutron = 1/2). Foton (bilangan kuantum spin foton, s = 1) mempunyai spin √2ℏ.

Efek Zeeman

Anggap suatu elektron bermassa m_e bergerak dalam suatu orbit berjari-jari r dengan frekuensi f. Momentum sudut elektron ini adalah L = m_evr = m_eωr² = 2m_eπfr². Gerakan elektron inilah menimbulkan arus. Arus didefinisikan sebagai banyaknya muatan yang mengalir tiap detik, jadi arus yang disebabkan oleh gerakan elektron ini sama dengan I = qf = -ef. Gerakan elektron ini juga menimbulkan medan magnet (ingat partikel bermuatan yang beregrak akan menimbulkan medan magnetik). Jika elektron ini diberi medan magnetik (kita namakan medan magnetik luar), B (misalnya berarah sejajar sumbu z) akan memberikan torsi yang akan mengubah arah gerakan elektron. Besarnya Torsi, (τ), akibat medan magnetik ini diberikan oleh rumus:

τ = μ X B

μ adalah suatu besaran yang dinamakan momen magnetik, besarnya μ = IA. Arah momen magnetik sama dengan arah momentum sudut untuk partikel yang bermuatan positif (gambar 1b) dan berlawanan dengan arah momentum sudut untuk partikel yang bermuatan negatif (gambar 1c).

Gambar

A adalah luar dari bidang orbit. Dengan menggunakan nilai I dan A = πr², kita peroleh;

Jadi, besarnya torsi yang disebabkan oleh medan B  (2)

Torsi inilah yang memutar orbit elektron (gambar 2a).

Gambar 2

Berapa besar energi magnetik yang dapat diserap oleh elektron??

Energi yang diberikan oleh medan magnetik adalah

Di mana θ adalah sudut antara medan magnetik B dan momen magnetik μ. Besaran dalam kurung  (-e/(2m_e ) dinamakan ratio giromagnetik (gyromagnetic ratio). Sekarang perhatikan gambar 2b. Dari gambar terlihat bahwa cos θ = m_lℏ/L sehingga kita peroleh:

Atau

Misalnya untuk l = 1, kita mempunyai m_l = 1, 0 dan -1. Energi elektron yang semula besarnya E₀ sekarang berubah menjadi:

Jadi ada tiga kemungkinan nilai energi yang dimiliki oleh elektron (tingkat energi elektron sekarang pecah menjadi 3 bagian). Untuk l = 2 energi elektron akan pecah menjadi 5 bagian (sesuai dengan m_l). Dari sini kita lihat pentingnya gerak orbit elektron. Juga kita lihat berapa eratnya hubungan antara m_l dengan medan magnetik. Itulah sebabnya m_l dinamakan bilangan kuantum magnetik.

Gambar 3

Pecahnya tingkat energi ini telah dibuktikan secara eksperimen oleh Zeeman. Garis spektrum yang semula 1 pecah menjadi beberapa bagian ketika atom hidrogen diberi medan magnetik kuat. Pecahnya garis spektrum ini ternyata merupakan akibat transisi dari tingkat energi yang terpecah itu (lihat gambar 3).

Gambar 4

Bilangan kuantum magnetik

Momentum sudut merupakan besaran vektor yang mempunyai komponen x, y dan z. Menurut para tokoh pengembang fisika kuantum (Schrodinger, Heisenberg), komponen x dany dari momentum sudut dapat besar sembarang tetapi komponen z tidak. Komponen z dari momentum sudut terkuantisasi dan besarnya adalah:

 

m_l­ dinamakan bilangan kuantum magnetik (atau bilangan kuantum magnetik orbital) yang nilainya dibatasi dari – l sampai +l yaitu,

m_l = –l, –l + 1, . . ., 0, . . ., l – 1, l

banyaknya m_l yang mungkin adalah 2l + 1 dan tiap m_l berhubungan dengan satu kemungkinan proyeksi L pada arah sumbu Z.
Misalnya, lintasan elektron dengan l = 1 dan L = √2 ℏ memiliki tiga kemungkinan nilai m_l yaitu m_l = 1; m_l = 0 dan m_l = -1.
Jadi ada tiga kemungkinan proyeksi momentum sudut pada sumbu z, yaitu L_z = ℏ, L_z = 0 dan L_z = – ℏ seperti tampak pada gambar di bawah ini.
Arah tiap vektor momentum sudut terhadap z dapat dihitung dengan mudah, yaitu:

Bentuk elips lintasan elektron untuk tiap nilai m_l digambarkan di bawah ini. Di sini jelas bahwa m_l berperanan untuk menentukan kemiringan dari pusat lintasan elips.

Bilangan m_l dinamakan bilangan kuantum magnetik karena bilangan kuantum ini sangat erat hubungannya dengan medan magnetik yang dapat memiringkan lintasan elektron ini