Bilangan Kuantum magnetik spin

Selain bilangan kuantum n, l dan m_l masih terdapat bilangan kuantum yang lain yaitu bilangan kuantum magnetik spin, yang diberi simbol m_s. Bilangan kuantum magnetik spin berhubungan erat dengan momentum sudut intrinsik elektron.

Momentum sudut intrinsik adalah momentum sudut yang terdapat di dalam elektron itu sendiri. Momentum sudut intrinsik sering disebut spin (rotasi) elektron. Momentum sudut intrinsik elektron ini tergantung pada momentum sudut orbital elektron.

Bilangan kuantum spin mula-mula diperkenalkan oleh Wolfgang Pauli. Waktu itu pauli mengamati spektrum atom hidrogen dengan alat yang ketelitiannya sangat tinggi.

Ia menemukan keanehan bahwa setiap garis pada spektrum atom hidrogen ternyata merupakan dua garis yang sangat berdekatan. Misalnya, garis deret Balmer yang berasal dari transisi n = 3 ke n= 2 (panjang gelombangnya 656,3 nm), sebenarnya merupakan dua garis yang berdekatan sekali (terpisah hanya pada jarak 0,14 nm).

Menurut Pauli kedua garis ini pastilah berasal dari transisi dua tingkat energi yang sangat berdekatan. Pauli menduga bahwa kedua tingkat energi berhubungan dengan momentum sudut intrinsik elektron yang berbeda dengan momentum sudut orbital.

Gambar 1: elektron diandaikan sebagai bola pejal yang berotasi terhadap porosnya

Gambar 2: momentum sudut intrinsik

Gerakan elektron mengelilingi inti atom akan menghasilkan medan magnetik. Medan magnetik ini akan berinteraksi dengan medan magnetik akibat momentum sudut intrinsik elektron. Hasil interaksi ini menyebabkan efek Zeeman internal, di mana garis-garis spektral akan terpecah menjadi dua. Pauli menyebutkan bilangan kuantum yang berhubungan dengan momentum sudut intrinsik elektron ini dengan nama bilangan kuantum magnetik spin yang memiliki nilai: m_s = ½ dan m_s = – ½.

Untuk menjelaskan lebih lanjut ide dari Pauli, Goudsmith dan Uhlenbeck memisalkan elektron seperti bola pejal bermuatan, gambar 1. Momentum sudut intrinsik elektron dianggapnya sebagai akibat rotasi elektron terhadap sumbunya (seperti rotasi bumi). Pada waktu elektron berotasi berlawanan dengan gerak jarum jam, elektron mempunyai bilangan kuantum magnetik m_s = +1/2 dan ketika berotasi searah jarum jam m_s = -1/2.

Besarnya momentum sudut intrinsik atau spin (rotasi) elektron ini diberikan oleh rumus

Dengan s = ½ (s dinamakan bilangan kuantum spin). Proyeksi spin elektron ini pada sumbu z diberikan oleh

Dengan m_s menyatakan bilangan kuantum magnetik spin. Menurut Goudsmith dan Uhlenbeck, momen magnetik akibat spin elektron diberikan oleh rumus:

Medan magnet akibat spin elektron ini akan berinteraksi dengan medan magnetik akibat gerakan orbit elektron. Jika medan magnetik akibat gerakan orbit adalah B (berarah ke sumbu z) maka energi akibat interaksi ini adalah (analog dengan penurunan efek Zeeman):

Karena m_s mempunyai dua harga yaitu m_s = ±1/2, maka tingkat energi elektron pecah menjadi dua:

Sebenarnya anggapan elektron seperti bola pejal yang berotasi tidak dapat dibenarkan. Model ini akan memberikan kecepatan rotasi elektron menjadi beberapa kali kecepatan cahaya.

Anggapa modern mengatakan bahwa spin elektron disebabkan aliran energi yang timbul akibat gelombang elektron (ingat konsep partikel-gelombang de Broglie). Walaupun demikian, gambaran elektron sebagai bola pejal yang berotasi masih sering dipakai untuk menyederhanakan persoalan.

Selain elektron, contoh partikel lain yang mempunyai spin adalah proton dan neutron.  Besar spin proton dan neutron sama dengan spin elektron, yaitu:

(bilangan kuantum spin proton dan neutron = 1/2). Foton (bilangan kuantum spin foton, s = 1) mempunyai spin √2ℏ.

Spektrum Atom Hidrogen

Atom Hidrogen adalah atom yang paling sederhana. Dalam sebuah tabung lucutan gas diberi beda potensial yang tinggi, sehingga terjadi lucutan muatan listrik. Gas hidrogen menjadi bercahaya dan memancarkan cahaya merah kebiru-biruan. Cahaya ini dapat dianalisis dengan sebuah spektrograf (alat untuk menyelidiki spektrum). Pada pelat foto kita akan mengamati deretan garis-garis cahaya. Setiap garis menampilkan sebuah panjang gelombang cahaya yang diberikan oleh sumber cahaya.

Gambar 1: Spektrum atom hidrogen

Dari semua spektrum yang ada, spektrum pancar gas hideogen yang paling menarik, ditinjau baik dari sejarahnya maupun alasan teori. Spektrum ini terdiri dari sederetan garis-garis seperti pada gambar 1. Tiap garis diberi nama H_α (garis merah), H_β (biru-hijau), H_γ (biru), dan H_δ (ungu dan ultraungu). Dengan mengutak-atik angka panjang gelombang dari tiap garis spektral, pada tahun 1885 Johann Jakob Balmer mengatakan bahwa panjang gelombang dari garis-garis spektral ini mengikuti suatu aturan yang sangat sederhana. Aturan ini dituliskan dalam bentuk:

b merupakan suatu konstanta yang besarnya 364,56 nm dan n merupakan bilangan bulat yang bergantung pada jenis garis spektral, misalnya n = 3 untuk garis H_α; n = 4 untuk garis H_β dan seterusnya. (Catatan: Balmer hanya menganalisis empat garis tersebut yang ditemukan pada waktu itu).

Rumus Balmer yang ditulis di atas sering ditulis dalam bentuk yang lebih menarik lagi seperti berikut

Dengan R_H menyatakan suatu konstantayang dinamakan konstanta Rydberg,

R_H = 4/b = 1,0973732 x 10⁷ m^-1

Kalau kita perhatikan dengan seksama persamaan di atas, kita pasti bertanya, mengapa kita pakai 2²? Kenapa tidak 1², 3² atau 4²? Atau kenapa harus bilangan bulat? Mengapa tidak pecahan?

Pertanyaan di atas juga sudah ditanyakan oleh para fisikawan ketika Balmer menemukan rumus empirisnya (rumus empiris = rumus yang diperoleh dari data hasil percobaan). Balmer pernah berspekulasi bahwa pasti ada deret lain dalam spektrum atom hidrogen atau dalam atom lain. Menurut spekulasi Balmer, deret ini pasti mempunyai aturan sederhana yang mirip dengan deret yang ia temukan, tetapi dengan mengganti 2² menjadi 1², 3² atau 4².

Jika spekulasi Balmer benar, maka rumus Balmer dapat ditulis dalam suatu deret umum:

Untuk deret yang ditemukan Balmer, n_f = 2.

Pada tahun 1908 Paschen menemukan 2 garis spektrum hidrogen pada daerah inframerah. Kedua garis masing-masing memenuhi rumus (3) untuk n_f = 3 dan n_i = 4,5,6,… Deret ini dinamakan deret Paschen. Ternyata spekulasi Balmer tentang adanya deret lain pada hidrogen adalah benar!

Penemuan Paschen ini disusul berturut-turut oleh Lyman, Brackett, dan Pfund. Lyman menemukan deretnya di daerah ultraviolet untuk n_f = 1, sedangkan Brackett dan Pfund menemukan deretnya di daerah inframerah untuk n_f = 4 dan n_f = 5.

Tabel 1 menunjukkan lima deret garis-garis dalam spektrum atom hidrogen

Nama deret
Lyman	1906 – 1914	Ultraviolet	nf = 1, ni = 2,3,4, …
Balmer	1885	UV + cahaya tampak	nf = 2, ni = 3,4,5, …
Paschen	1908	Inframerah	nf = 3, ni = 4,5,6, …
Brackett	1922	Inframerah	nf = 4, ni = 5,6,7, …
Pfund	1924	inframerah	nf = 5, ni = 6,7,8, …

Penemuan deret-deret spektrum gas hidrogen dan penemuan aturan sederhana ini membuat orang mencari apa sesungguhnya yang terjadi dalam gas hidrogen sehingga ia memancarkan spektrum yang rumusnya demikian cantik.

Model Atom Rutherford

Gambar 1: Skema Percobaan Rutherford

Rutherford bersama dua orang asistennya, Geiger dan Marsden, melakukan percobaan pada tahun 1911. Teknik yang digunakan Rutherford dalam percobaannya ditunjukkan pada gambar 1. Seberkas partikel alfa ditembakkan melalui telah pelat timbal dan akhirnya menumbuk lempeng emas. Untuk mendeteksi partikel alfa yang keluar dari lempeng emas, dipasang lempeng yang berlapis seng sulfida. Bila partikel alfa menumbuk lempeng ini, maka akan tampak suatau nyala sekilas yang dapat diamati secara visual.

Hasil pengamatan Rutherford adalah sebagian besar partikel alfa (α) lewat tanpa mengalami pembelokan/hambatan, sebagian kecil dibelokkan, dan sedikit sekali yang dipantulkan kembali.

Tiga kesimpulan Rutherford dari percobaannya sebagai berikut:

1. Sebagian sekali partikel alfa menembus lempeng logam tanpa dibelokkan. Peristiwa ini menunjukkan bahwa sebagian besar ruang dalam atom-atom emas adalah ruang kosong.
2. Sedikit sekali partikel alfa yang dipantulkan kembali. Peristiwa ini menunjukkan bahwa partikel alfa telah menumbuk bagian yang sangat keras dari atom, yang disebut inti atom. Bagian ini mempunyai ukuran sangat kecil dibandingkan dengan ukuran atomnya.
3. Sebagian kecil partikel alfa dibelokkan. Peristiwa ini menunjukkan bahwa muatan inti atom adalah sejenis dengan muatan partikel alfa (positif). Partikel alfa yang lewat dekat inti atomd dibelokka oleh gaya tolak menolak muatan-muatan listrik yang sejenis.

Gambar 2: Model Atom Rutherford

Dari hasil percobaan Rutherford tampak bahwa model atom Thomson yang menyatakan bahwa massa atom yang tersebar merata dalam seluruh atom tidak dapat diterima lagi. Berdasarkan tiga kesimpulan yang telah diperoleh dari percobaannya, Rutherford mengajukan model atom baru, yang disebut model atom Rutherford yang berbunyi sebagai berikut:

1. Semua muatan positif dan sebagian besar massa atom berkumpul pada sebuah titik di tengah-tengah atom, yang disebut inti atom.
2. Inti atom yang dikelilingi oleh elektron-elektron pada jarak relatif jauh. Elektron-elektron berputar pada lintasan-lintasan, seperti planet-planet yang bergerak mengelilingi Matahari dalam tata surya, lihat gambar 2.

Atom secara keseluruhan bersifat netral, sehingga jumlah muatan positif inti harus sama dengan jumlah muatan negatif elektron seluruhnya. Bila elektron mempunyai muatan sebesar satu muatan elementer, maka muatan inti adalah kelipatan muatan elementer. Nomor atom Z menunjukkan jumlah muatan positif inti (Σp) atau jumlah elektron (Σe) yang mengitari inti.

Karena jumlah muatan inti sama dengan jumlah elektron-elektron yang mengitarinya, maka muatan inti sama dengan nomor atom Z dikalikan dengan muatan elementer e.

Walaupun model atom ini cukup berguna dalam banyak hal, model ini tidak cukup menjelaskan susunan elektron-elektron.

Kelemahan medasar terori atom Rutherford adalah sebagai berikut:

1. Model atom Rutherford tidak dapat menjelaskan kestabilan atom.

Gambar 3:Lintasan spiral elektron

Elektron bermuatan negatif dan inti atom bermuatan positif maka akan muncul gaya Coulomb pada elektron. Gaya ini berfungsi sebagai gaya sentripetal yang menjaga gerak elektron tetap pada lintasannya. Gaya sentripetal ini menyebabkan elektron dipercepat. Dari teori elektromagnetik Maxwell, muatan elektron dipercepat akan memancarkan gelombang elektromagnetik. Karena pemancaran gelombang elektromagnetik (energi), maka energi elektron akan berkurang. Akibatnya jari-jari lintasannya akan mengecil. Lintasan tidak lagi merupakan lingkarang dengan jari-jari yang tetap, tetapi merupakan putaran spiral mendekati inti. Akhirnya elektron bersatu. Tetapi tentu saja hal ini tidak perna terjadi. Mengapa elektron bergerak dipercepat sambil memancarkan gelombang elektromagnetik tidak mendekati dan bersatu dengan inti atom? inilah yang tidak dapat dijelaskan oleh Rutherford.

2. Model atom Rutherford tidak dapat menjelaskan spektrum garis atom hidrogen.

Karena lintasan elektron semakin mengecil, maka periodenya juga makin mengecil. Oleh karena itu, frekuensi gelombang yang dipancarkan atom bermacam-macam. Dengan kata lain, spektrum atom hidrogen akan menunjukkan spektrum kontinu dan bukan spektrum garis.

Model Atom Borh

Gambar Model Atom Bohr

Menurut Borh, model atom Rutherford sudah cukup baik. Untuk menyempurnakan model atom Rutherford ini Borh punya pandangan sangat berani dan sangat radikal yaitu

“teori elektromagnetik klasik tidak berlaku pada sistem yang berukuran sangat kecil seperti atom”

Aneh tapi nyata bahwa dengan konsep ini Borh menyelamatkan model atom Rutherford sehingga Rutherford tidak perlu khawatir elektronnya kehabisan energi dan jatuh menimpah inti.

Di kalangan ilmuwan, pandangan radikal Borh ini dikenal sebagai dua postulat (dalil) Borh yaitu:

1. Berlawanan dengan teori elektromagnetik klasik, dalam suatu sistem atom, elektron tidak memancarkan radiasi ketika ia mengorbit inti atom. Lintasan-lintasan di mana elektron dapat mengorbit tanpa memancarkan radiasi dinamakan lintasan stasioner atau orbit stabil.
2. Pemancaran dan penyerapan gelombang elektromagnetik dalam suatu atom berhubungan erat dengan transisi elektron dari dua lintasan stasioner.

Radiasi yang dipancarkan atau yang diserap, mempunyai frekuensi f yang ditentukan oleh rumus

hf = |E_i – E_f|

dengan E_f dan E_i masing-masing menyatakan energi akhir dan energi mula-mula keadaan stasioner dan h merupakan konstanta Planck yang besarnya:

h = 6,6260755 x 10^-35 J.s

catatan: pada persamaan di atas kita menggunakan harga mutlak untuk menghindari f negatif. Jika kita tidak ingin menggunakan harga mutlak, kita harus gunakan rumus hf = E_i – E_f untuk pemancaran radiasi (karena energi mula-mula lebih tinggi dari energi akhir) atau rumus hf = E_f – E_i untuk penyerapaka radiasi (energi akhir lebih tinggi dari energi mula-mula).

Dengan menggunakan postulatnya, Bohr berhasil menurunkan rumus untuk jari-jari lintasan stasionernya dan Borh menurunkan juga rumus spektrum atom hidrogen dan menerangkan mengapa terjadi spektrum yang demikian! Inilah yang membuat model atom Borh terkenal.

Rumus jari-jari lintasan stasioner

Anggap suatu elektron bermuatan q_e = – e mengorbit suatu ini atom yang bermuatan q_i = +Ze. Gaya listrik antara kedua muatan ini diberikan oleh rumus

Dengan k = 9 x 10⁹ Nm²/C² merupakan konstanta Coulomb dan r adalah jarak pusat elektron ke pusat inti atom.
Jika elektron bergerak dalam suatu orbit stabil melingkar mengelilingi inti dengan jari-jari  r dan dengan kelajuan tetap v, maka gaya sentripetalnya sama dengan mv²/r. Karena gaya sentripetal ini diberikan oleh gaya tarik listrik, maka:

Dalam persamaan di ata, hanya r dan v yang merupakan variabel. Untuk menghitung kedua besaran, kita tuliskan persamaan di atas dalam bentuk,

Suku di sebelah kiri merupakan perkalian antara momentum elektron dan jari-jari orbit. Besaran ini dinamakan momentum sudut elektron.
Menurut mekanika Newton (klasik) jari-jari orbit suatu benda dapat mempunyai sembarangan harga. Namun postulat pertama Born menyatakan bahwa hanya orbit tertentu saja yang diijinkan. Postulat Borh dapat dipenuhi jika besaran mvr tidak mengambil sembarang nilai (kita katakan bahwa besaran mvr terkuantisasi atau momentum sudut terkuantisasi), nilai besaran ini ditentukan oleh rumus

Dengan h adalah konstanta Planck dan n = 1, 2, 3, . . . . (tidak nol). Bilangan bulat n yang tampak pada rumus dinamakan bilangan kuantum utama.
Selanjutnya dengan sedikit aljabar kita peroleh

Untuk menghilangkan suku v² kita gunakan rumus gaya sentripetal:

Subtitusi nilai v² ke dalam rumus r² untuk memperoleh:

Besaran dalam kurung dinamakan jari-jari Borh, a₀. Dengan memasukkan nilai h, m, k, e dan Z = 1, besarnya jari-jari Borh untuk atom hidrogen adalah

Dalam suku jari-jari Borh, rumus jari-jari lintasan elektron adalah

 

Pada rumus di atas terlihat bahwa elektron tidak dapat berada di sembarang tempat. Elektron hanya boleh berada pada lintasan-lintasan tertentu saja yang ditentukan oleh bilangan kuantum n.

Kelemahan teori atom Borh

• tidak dapat menerangkan spektrum dari atom yang pada kulit terluarnya lebih dari 1 elektron.
• tidak dapat menerangkan terjadinya garis spektral tambahan ketika atom hidrogen diletakkan pada medan listrik atau medan magnet
• tidak mampu menghitung besarnya panjang gelombang spektral tambahan ini, bahkan tidak meramalkan keberadaan garis ini sama sekali

Hal lain yang menjadi masalah dalam teori atom Borh adalah anggapan Borh bahwa orbit elektron berupa satu garis lingkaran. orbit itu hanya ada dalam teori saja tetapi tidak pernah dapat diselidiki secara langsung melalui eksperimen.  

Model Atom Thomson

Gambar model atom Thomson

Sejak zaman Demokritus (abad ke 4 SM) sampai abad ke-19, orang berpendapat bahwa atom adalah bagian terkcil dari suatu materi. Menurut mereka, atom dapat dibayangkan sebagai suatu bola kecil, keras, dan tidak dapat hancur. Model atom ini cukup sukses menerangkan gerakan dan tumbukan antara molekul-molekul gas dan hal-hal yang berhubungan dengan teori kinetik gas seperti menghitung tekanan dan energi gas.

Namun sejak ditemukannya elektron olej J.J Thomson pada tahun 1897, anggapan bahwa atom adalah bagian terkecil dari suatu materi mulai terhapus.

Thomson sendiri waktu itu sekitar abad ke-19 mengajukan model atom yang cukup terkenal. Menurutnya atom merupakan suatu awan-awan positif berbentuk seperti bola dengan elektron-elektron tersebar di seluruh bagian bola (tidak hanya dipermukaan bola). Massa atom terkonsentrasi pada massa awan-awan ini, (ingat, massa elektron sangat kecil).

Karena atom netral maka muatan awan-awan ini sama dengan jumlah semua muatan elektron tersebar di bola atom ini, namun bernilai positif.

Jari-jari atom diambil sekitar 10^-10 m. Nilai ini diambil berdasarkan informasi teori kinetik gas.

Gambaran atom seperti ini dapat dimisalkan seperti gambaran roti kismis. Kismis yang tersebar di seluruh bagian roti atau kue melambangkan elektron-elektron atom.

Dalam keadaan seimbang, elektron-elektron akan menempati posisi sedemikian sehingga gaya tarik dari awan-awan positif sama besar dengan gaya tolak antara elektron-elektron ini. Untuk atom litium yang mempunyai tiga elektron, posisi keseimbangan terjadi ketika ketiga elektron ini terletak di pusat bola membentuk suatu segitiga sama sisi.

Ketiga atom bertumbukkan, elektron-elektron ini akan terganggu dan mulai bergetar di sekitar posisi keseimbangan (ikatan antar elektron boleh dibayangkan seperti pegas). Elektron bergetar artinya elektron dipercepat dan diperlambat.

Menurut teori elektromagnetik, muatan yang dipercepat atau diperlambat akan memancarkan gelombang elektromagnetik. Gelombang elektromagnetik yang dipancarkan elektron ini akan terlihat sebagai tampak dan dapat memberikan garis terang pada spektrum atom ini.

Model atom Thomson cukup masuk akal. Model atom ini mampu

1. menerangkan terjadinya radiasi berupa cahaya dari gas yang dipanaskan.
2. Dengan model ini, Thomson mampu menjelaskan adanya perbedaan sifat-sifat gas yang satu dengan yang lain.
3. Dapat menerangkan adanya partikel yang lebih kecil dari atom yang disebut dengan subatomik.
4. Dapat menerangkan sifat listrik atom

Itulah sebabnya model Thomson mampu bertahan selama beberapa tahun.

Model atom Thomson mempunyai beberapa kelemahan yaitu

1. Tidak dapat menerangkan fenomena penghaburan partikel alfa oleh selaput tipis emas yang dikemukakan Rutherford
2. Tidak mampu menjelaskan mengenai adanya inti atom

Efek Zeeman

Anggap suatu elektron bermassa m_e bergerak dalam suatu orbit berjari-jari r dengan frekuensi f. Momentum sudut elektron ini adalah L = m_evr = m_eωr² = 2m_eπfr². Gerakan elektron inilah menimbulkan arus. Arus didefinisikan sebagai banyaknya muatan yang mengalir tiap detik, jadi arus yang disebabkan oleh gerakan elektron ini sama dengan I = qf = -ef. Gerakan elektron ini juga menimbulkan medan magnet (ingat partikel bermuatan yang beregrak akan menimbulkan medan magnetik). Jika elektron ini diberi medan magnetik (kita namakan medan magnetik luar), B (misalnya berarah sejajar sumbu z) akan memberikan torsi yang akan mengubah arah gerakan elektron. Besarnya Torsi, (τ), akibat medan magnetik ini diberikan oleh rumus:

τ = μ X B

μ adalah suatu besaran yang dinamakan momen magnetik, besarnya μ = IA. Arah momen magnetik sama dengan arah momentum sudut untuk partikel yang bermuatan positif (gambar 1b) dan berlawanan dengan arah momentum sudut untuk partikel yang bermuatan negatif (gambar 1c).

Gambar

A adalah luar dari bidang orbit. Dengan menggunakan nilai I dan A = πr², kita peroleh;

Jadi, besarnya torsi yang disebabkan oleh medan B  (2)

Torsi inilah yang memutar orbit elektron (gambar 2a).

Gambar 2

Berapa besar energi magnetik yang dapat diserap oleh elektron??

Energi yang diberikan oleh medan magnetik adalah

Di mana θ adalah sudut antara medan magnetik B dan momen magnetik μ. Besaran dalam kurung  (-e/(2m_e ) dinamakan ratio giromagnetik (gyromagnetic ratio). Sekarang perhatikan gambar 2b. Dari gambar terlihat bahwa cos θ = m_lℏ/L sehingga kita peroleh:

Atau

Misalnya untuk l = 1, kita mempunyai m_l = 1, 0 dan -1. Energi elektron yang semula besarnya E₀ sekarang berubah menjadi:

Jadi ada tiga kemungkinan nilai energi yang dimiliki oleh elektron (tingkat energi elektron sekarang pecah menjadi 3 bagian). Untuk l = 2 energi elektron akan pecah menjadi 5 bagian (sesuai dengan m_l). Dari sini kita lihat pentingnya gerak orbit elektron. Juga kita lihat berapa eratnya hubungan antara m_l dengan medan magnetik. Itulah sebabnya m_l dinamakan bilangan kuantum magnetik.

Gambar 3

Pecahnya tingkat energi ini telah dibuktikan secara eksperimen oleh Zeeman. Garis spektrum yang semula 1 pecah menjadi beberapa bagian ketika atom hidrogen diberi medan magnetik kuat. Pecahnya garis spektrum ini ternyata merupakan akibat transisi dari tingkat energi yang terpecah itu (lihat gambar 3).

Gambar 4

Bilangan kuantum magnetik

Momentum sudut merupakan besaran vektor yang mempunyai komponen x, y dan z. Menurut para tokoh pengembang fisika kuantum (Schrodinger, Heisenberg), komponen x dany dari momentum sudut dapat besar sembarang tetapi komponen z tidak. Komponen z dari momentum sudut terkuantisasi dan besarnya adalah:

 

m_l­ dinamakan bilangan kuantum magnetik (atau bilangan kuantum magnetik orbital) yang nilainya dibatasi dari – l sampai +l yaitu,

m_l = –l, –l + 1, . . ., 0, . . ., l – 1, l

banyaknya m_l yang mungkin adalah 2l + 1 dan tiap m_l berhubungan dengan satu kemungkinan proyeksi L pada arah sumbu Z.
Misalnya, lintasan elektron dengan l = 1 dan L = √2 ℏ memiliki tiga kemungkinan nilai m_l yaitu m_l = 1; m_l = 0 dan m_l = -1.
Jadi ada tiga kemungkinan proyeksi momentum sudut pada sumbu z, yaitu L_z = ℏ, L_z = 0 dan L_z = – ℏ seperti tampak pada gambar di bawah ini.
Arah tiap vektor momentum sudut terhadap z dapat dihitung dengan mudah, yaitu:

Bentuk elips lintasan elektron untuk tiap nilai m_l digambarkan di bawah ini. Di sini jelas bahwa m_l berperanan untuk menentukan kemiringan dari pusat lintasan elips.

Bilangan m_l dinamakan bilangan kuantum magnetik karena bilangan kuantum ini sangat erat hubungannya dengan medan magnetik yang dapat memiringkan lintasan elektron ini