Soal Gaya Pegas dan Pembahasan

Soal 1
Sebuah pegas membutuhkan gaya 4,5 N untuk memampatkannya dari panjang 40 cm menjadi 35 cm. Hitung konstanta pegas, k.

Jawab:
Kita bisa menulis hukum Hooke dalam hal nilai absolut:
|F| = k|Δx|
Sekarang |Δx| = 5 cm, jadi kita punya
4,5 N = k (5 cm)
k = 0,9 N/cm = 90 N/m

Soal 2
Massa M dilekatkan pada dua pegas seperti yang ditunjukkan pada gambar. Pegas di sebelah atas dikompres 20 cm dari panjang aslinya. Hitung gaya yang dibutuhkan untuk menggerakkan massa 10 cm ke atas, dengan kecepatan konstan.

Jawab:
Dalam situasi ini, pegas di sebelah kiri perlu dikompres, dan karena pegas di sebelah kanan dikompres, akan memberikan beberapa gaya yang dibutuhkan untuk menggerakkan massa. Kita tidak mempercepat misa, jadi kita tidak harus mengerahkan kekuatan bersih hanya untuk memindahkannya.Gaya yang dibutuhkan untuk memampatkan pegas di sebelah atas adalahF₁ = - (k₁ ∆x₁) = - (120 N/m) (- 0,01 m) = 1,2 N Gaya ke atas yang dihasilkan oleh pegas di sebelah bawah adalahF₂ = - (k₂∆x₂) = -(80 N/m)(0,01 m) = -0,8 N Sekarang gaya bersih yang dibutuhkan untuk melakukan perpindahan adalah jumlah kedua kekuatan ini,F₁ + F₂ = 1,2 N - 0,8 N = 0,4 N.

Soal 3
Dua pegas, dengan konstanta pegas k₁ = 200 N/m dan k₂ = 100 N/m dilekatkan seperti ditunjukkan pada gambar. Hitung jumlah gaya yang dibutuhkan untuk memampatkan pegas sebesar 10 cm.

Jawab:
konstanta pegas gabungan adalah1/k_t = 1/k₁ + 1/k₂1/k_t = 1/(200 N/m) + 1/(100 N/m)k_t = 66,67 N/m Sekarang untuk menemukan gaya kita hanya menggunakan hukum Hooke:F = -kx = - (66,67 N/m) (-0,010 mF = 0,667 N

Soal 4
Dua pegas dilekatkan pada balok seperti yang ditunjukkan pada gambar. Hitung gaya yang dibutuhkan untuk kompres keduanya sebesar 10 cm.

Jawab:
Dalam kasus ini, konstanta pegas keseluruhan k hanyalah jumlah konstanta masing-masing pegas:k = k₁ + k₂ Jadi k = 120 N/m + 80 N/m = 200 N/m. Sekarang ini adalah perhitungan langsung dari gaya menggunakan hukum Hooke dan perpindahannya, |Δx| = 10 cmF = k|Δx| = (200 N/m)(0,01 m) = 2 N Gaya yang dibutuhkan untuk memampatkan atau memperpanjang beberapa pegas hanyalah jumlah gaya untuk memampatkan/memperpanjang setiap pegas secara terpisah. Dalam hal ini, pegas dikatakan bekerja secara paralel.

Soal 5
Siatem pegas gabungan di bawah ini disusun atas empat pegas dengan k₁ = 80 N/M, k₂ = 120 N/m, k₃ = 80 N/m dan k₄ = 120 N/m, jika sistem tersebut diberi beban dengan massa 200 kg, tentukan (a) konstanta pegas total sistem (b) gaya yang dialami oleh masing-masing pegas dan pertambahan panjang masing-masing pegas!

Jawab:
(a) Dari sistem tersebut k₁, k₂ dan k₃ disusun paralel maka,
k_p = k₁ + k₂ + k₃ = 80 N/m + 120 N/m + 80 N/m = 280 N/m
sedangkan k_p seri dengan k₄ maka
k_total = k_pk₄/(k_p + k₄) = (280 N/m)(120 N/m)/(280 N/m + 120 N/m) = 84 N/m
(a) gaya total sistem adalah F = mg = 2000 N,
untuk sistem pegas yang disusun seri gaya tarik untuk masing-masing pegas sama besar maka,
F₄ = F_P = F = 2000 N
maka ∆x₄ = F/k₄ = 2000 N/(120 N/m) = 50/3 cm
sedangkan jumlah gaya untuk ketiga pegas k₁,k₂ dan k₃ yang disusun paralel harus sama dengan F₄ = 2000 N sedangkan pertambahan panjang pegas untuk masing-masing pegas k₁,k₂ dan k₃ adalah sama besar yaitu ∆x = F_P/k_p­ = (2000 N)/(280 N/m) = 50/7 meter = ∆x₁ = ∆x₂ = ∆x₃, sehingga besar gaya untuk masing-masing pegas k₁,k₂ dan k₃ adalah
F₁ = k₁∆x = (80 N/m)(50/7 m) = 4000/7 N = 571,43 N
F₂ = k₂∆x = (120 N/m)(50/7 m) = 6000/7 N = 857,14 N
F₁ = k₁∆x = (80 N/m)(50/7 m) = 571,43 N

Soal 6
Perhatikan dua sistem susunan pegas di bawah ini!. Tentukan perbandingan pertambahan panjang sistem yang bermassa M dan sistem yang bermassa 3M jika k₁ = k₃ = k₅ = 2k dan k₂ = k₄ = k!

Jawab:
Untuk sistem pegas yang memiliki massa M, susunan pegas paralelnya adalah
k_p = k₁ + k₂ + k₃ = 2k + k + 2k = 5k
maka konstanta pegas totalnya adalah
1/k_T = 1/k_p + 1/k₄ atau k_T = k_pk₄/(k_p + k₄) = (5k)(k)/(5k + k) = 5k/6
karena pertambahan panjang pegas ∆x = F/k, maka ∆x_M = 6Mg/5k
Untuk sistem pegas yang memiliki massa 3M, susunan pegas paralelnya adalah
k_p1 = k₁ + k₂ + k₃ = 2k + k + 2k = 5k
k_p2 = k₄ + k₅ = k + 2k = 3k
maka konstanta pegas totalnya adalah
1/k_T = 1/k_p1 + 1/k_p2 atau k_T = k_p1k_p2/(k_p1 + k_p2) = (5k)(3k)/(5k + 3k) = 15k/8
karena pertambahan panjang pegas ∆x_3M = F/k, maka ∆x_3M = 24Mg/15k
sehingga,

Soal 7
Sebuah pegas digantung pada langit-langit sebuah lift. Pada bawah pegas diberi beban 50 gram. Bila lift diam pegas bertambah panjang 10 cm. Tentukan pertambahan panjang pegas ketika lift sedang bergerak: (a) ke atas dengan percepatan 4 m/s² dan (b) ke bawah dengan percepatan 4 m/s². Ambil g = 10 m/s²!

 
Jawab:
Massa beban m = 50 gram = 50 x 10^-3 kg dan percepatan gravitasi g = 10 m/s².
Ketika lift diam (a = 0) pegas bertambah panjang x = 10 cm = 0,1 m. Menurut hukum II Newton:
ΣF = ma
kx – mg = 0
kx = mg
k = mg/x = (50 x 10^-3 kg)(10 m/s²)/0,1 m = 5 N/m
(a) Pertambahan panjang x ketika lift bergerak ke atas dengan percepatan a = +4 m/s² (ke atas)
ΣF = ma
+kx – mg = ma
kx = m(g + a)
x = m(g + a)/k
   = (50 x 10^-3 kg)(10 m/s² + 4 m/s²)/5 N/m
x = 0,14 m = 14 cm

(b) Pertambahan panjang x ketika lift bergerak ke bawah dengan percepatan a = -4 m/s² (ke bawah)
ΣF = ma
–kx  + mg = ma
kx = m(g – a)
x = m(g – a)/k
   = (50 x 10^-3 kg)(10 m/s² – 4 m/s²)/5 N/m
x = 0,06 m = 6 cm

Soal dan penyelesaian elastisitas zat padat

Soal 1
Sebuah bahan baja yang akan digunakan untuk jembatan gantung memiliki modulus Young 2,0 x 10¹¹ N/m². Untuk menahan berat jembatan beberapa buah batang baja yang berbentuk silinder yang masing-masing luas penampangnya 8 cm² dan panjangnya 50 m. Setiap batang ditarik dengan gaya 4,0 x 10⁴ N. Tentukan: (a) tegangan, (b) pertambahan panjang dan (c) regangan yang dialami batang

Jawab
Diketahui: E = 2,0 x 10¹¹ N/m²; A = 8 cm² = 8 x 10^-4 m², l₀ = 50 m, dan F = 4 x 10⁴ N, maka

(a) Tegangan (σ)

(b) Pertambahan panjang batang (Δl)

(c) Regangan (e)

Soal 2:
Sebuah kawat tembaga dan kawat baja dengan panjang yang sama dan penampang melintang yang sama digabungkan dari ujung ke ujung untuk membentuk kawat gabungan. Kawat gabungan tergantung dari dukungan yang kaku dan beban digantungkan dari ujung yang lain. Jika pertambahan panjang kabel gabungan adalah 2,4 mm, lalu berapa jumlah pertambahan panjang kawat baja dan kawat tembaga? (Y_tembaga = 10 × 10¹⁰ N/m², Y_baja = 2 × 10¹¹ N/m²) 

Jawab:
L_tembaga = L_baja = L
A_tembaga = A_baja = A
ΔL_total = 2,4 mm
Dan ΔL_total = ΔL_tembaga + ΔL_baja
Persamaan modulus Young bahan elastis adalah
Y = FL/ΔLA atau ΔL = YA/FL sehingga
ΔL_tembaga = Y_tembaga A/FL dan
ΔL_baja = Y_baja A/FL
ΔL_tembaga/ΔL_baja = Y_tembaga/Y_baja = (10 × 10¹⁰ N/m²)/(2 × 10¹¹ N/m²) = 0,5
Atau ΔL_tembaga = 0,5ΔL_baja
Karena  ΔL_total = ΔL_tembaga + ΔL_baja = 2,4 mm
                                          1,5ΔL_baja = 2,4 mm
                                                ΔL_baja = 1,6 mm
Dan ΔL_tembaga = 0,5ΔL_baja = 0,5 x 1,6 mm = 0,8 mm 

Soal 3
Batang baja dengan panjang l₁ = 30 cm dan dua batang kuningan yang identik dengan panjang l₂ = 20 cm masing-masing mendukung platform horisontal ringan seperti yang ditunjukkan pada gambar. Luas penampang masing-masing dari tiga batang adalah A = 1 cm². Gaya vertikal ke bawah F = 5000 N diterapkan pada platform. Modulus elastisitas untuk baja Y_baja = 2 × 10¹¹Nm^-2 dan kuningan Y_kuningan = 1 × 10¹¹Nm^-2. Tentukan tegangan kawat baja!

 

Jawab:

pertambahan panjang Δl = FL/AY maka F = AYΔL/L,
Maka Persamaan F_baja = A_bY_bΔL_b/L_b,
Dan F_kuningan = A_kY_kΔL_k/L_k­
Pertambahan panjang untuk masing-masing batang sama, maka berlaku
F_kuningan + F_baja + F_kuningan = F
2F_kuningan + F_baja = F
A_b = A_k = 10^-4 m²
L_b = 0,3 m dan L_k = 0,2 m
Y_baja = 2 × 10¹¹Nm^-2 dan Y_kuningan = 1 × 10¹¹Nm^-2, sehingga
2 A_kY_kΔL/L_k + A_bY_bΔL/L_b = 5000
Diperoleh ΔL = 0,03 mm, maka tegangan yang dialami kuningan baja adalah
σ_b = F/regangan = 5000 N/(0,03 mm/0,3 m) = 20 MPa 

Soal 4:
Sebuah batang ringan AB memiliki panjang 2 m tergantung horizontal oleh dua kawat seperti gambar. Satu kawat baja yang memiliki luas penampang 0,1 cm² dan kawat yang lainnya dalah kuningan dengan luas penampang 0,2 cm². Modulus Young kuningan 1,0 x 10¹¹ N/m² dan baja 2,0 x 10¹¹ N/m².  Sebuah benda dengan berat W digantung pada titik C pada jarak x dari A. Tentukan x di mana tegangan kedua kawat sama besar!

 

Jawab:

Diketahu: Panjang batang d = 2 m, luas penampang baja, A_b = 0,1 cm², luas penampang kuningan A_k = 0,2 cm², modulus Young kuningan E_k = 1,0 x 10¹¹ N/m² dan modulus Young baja E_b = 2,0 x 10¹¹ N/m².

Persamaan tegangan pada kawat adalah σ = F/A, maka=
σ_k = σ_b
T_k/A_k = T_b/A_b
T_k/T_b = A_k/A_b = (0,2 cm²)/( 0,1 cm²) = 2
Sistem dalam keadaan setimbang dengan mengambil poros di titik C maka
Στ_C = 0
T_bx = T_k (2 – x)
T_k/T_b = x/(2 – x)
2 = x/(2 – x)
x = 4/3 m dari A
Jadi beban W harus digantung pada posisi 4/3 m dari titik A agar tegangan kedua kawat sama besar.

Soal 5:
Kawat baja panjangnya2L dengan diameter d, luas penampang A kedua ujungnya diikat pada dinding seperti gambar. Benda bermassa m digantung pada tengah-tengah kawat yang membuat kawat meregang vertikal sejauh x. Jika modulus Young dari kawat adalah E, tentukan x!

 

Jawab:
System dalam keadaan setimbang maka
2T sin θ = mg

Karena θ sangan kecil maka
Sin θ = tan θ = θ = x/L
T = F = EAΔL/L
Karena ΔL = (x² + L²)^1/2 – L , maka
F = EA[(x² + L²)^1/2 – L]/L atau
F ≈ EAx²/L²
Tetapi
2T sin θ = mg
2[EAx²/L²][x/L] = mg
m = EAx³/gL³

Soal 6:
Kawat baja dengan luas penampang 3 x 10^{- 5}m² dan panjang  5 m meregang dengan panjang yang sama dengan kawat tembaga yang luas penampang  4,0 x 10^-5m² dan panjang  4 m. Jika beban yang diberikan pada kedua kawat sama besa, tentukan rasio modulus  Young  tembaga dengan baja?

Jawab:
Panjang kawat baja, L₁ = 5 m, Luas penampang kawat baja, A₁ = 3,0 × 10^-5 m² ,njang kawat tembaga, L₂ = 4 m, Luas penampang kawat tembaga, A₂ = 4,0 × 10^-5 m²,
Perubahan panjang = ΔL₁ = ΔL₂ = ΔL
Biarkan gaya diterapkan di kedua situasi = F
Kita tahu, modulus Young dari kawat baja:
E₁ = (F₁/A₁)(L₁ /ΔL₁)
= (F/3 x 10^-5)(5/ΔL). . . . . . . . . . (1)
Juga, modulus Young dari kawat tembaga:
E₂ = (F₂/A₂)(L₂ /ΔL₂)
= (F/4 × 10^-5)(3/ΔL). . . . . . . . . . . (2)
Persamaan pembagi (1) dengan persamaan (2), kita mendapatkan:
E₁/E₂ = (5 × 4 × 10^-5)/(3 × 10^-5 × 4)
= 5 : 6
Rasio modulus Young dari baja terhadap modulus tembaga Young adalah 5 : 6

Soal 7:
Grafik yang diberikan di bawah ini adalah kurva tegangan-regangan suatu material. Tentukan (i) Perkiraan tegangan maksimum bahan ini (ii) modulus Young bahan ini!

Jawab:
dari kurva tegangan-regangan material,
(i) Dapat dilihat dari grafik bahwa perkiraan tegangan maksimum dari material ini adalah 300 × 10⁶Nm^-2 atau 3 × 10⁸ N/m².
(ii) diamati dari grafik yang diberikan bahwa untuk regangan 0,001, tegangan adalah 75 × 10⁶N /m². \
∴ Kita tahu, modulus Young, Y = Stress / Strain = 75 × 10⁶/0.001 = 7.5 × 10¹⁰ Nm^-2

Soal 8:
Kawat yang terbuat dari baja dan kuningan dan memiliki diameter 0,25 cm dimuat seperti yang digambarkan pada diagram di bawah ini. Panjang kawat kuningan adalah 1 m dan kawat bajanya adalah 1.8 m. Cari pertambahan pada kabel kuningan dan baja. (Ekuningan = 0,91 × 10¹¹ N/m², E_baja = 2 × 10¹¹ N/m²) 

Jawab:
Mengingat, Diameter kawat, d = 0,25 m
Oleh karena itu, jari-jari kabel, r = d/2 = 0.125 cm
Panjang kawat baja, L₁ = 1,8 m
Panjang kawat kuningan, L₂ = 1,0 m
Total gaya yang diberikan pada kawat baja:
F₁ = (4 + 8) g = 12 × 9,8 = 117,6 N
Kita tahu, modulus Young untuk baja:
E₁ = (F₁/A₁)/(ΔL₁/L₁)
Dimana,ΔL₁ = Ganti panjang kawat bajaA₁ = Luas penampang kawat baja = πr₁²
Kita tahu, modulus Young dari baja, E₁ = 2,0 × 1011 Pa
∴ ΔL₁ = F₁ × L₁ / (A₁ × E₁)= (117,6 × 1,8)/[π (0.125 × 10^-2) 2 × 2 × 10¹¹] = 2.15 × 10^-4m
Total gaya pada kawat kuningan:F₂ = 8 × 9,8 = 78,4 N
Modulus Young untuk kuningan: E₂ = 0,91 x 10¹¹ Pa
Dimana,ΔL₂ = Ganti panjang kawat kuningan
A₁ = Luas penampang kawat kuningan = πr₁²
∴ ΔL₂ = F₂ × L₂ / (A₂ × E₂)= (78,4 X 1)/[π × (0,12 × 10^-2) 2 × (0,91 × 10¹¹)] = 1,75 × 10^-4 m
Oleh karena itu, pemanjangan kawat baja = 2.15 × 10^-4m, dan Pemanjangan kawat kuningan = 1,75 × 10^-4 m

Soal 9:
Massa 15 kg terikat pada kawat baja 1 m. Kemudian berputar dalam lingkaran vertikal dimana kecepatan sudutnya adalah 2 putaran/s. Jika luas penampang kawat adalah 0,060 cm², tentukan pertambahan kawat bila benda berada pada titik terendah. (Y_baja = 2 × 10¹¹ N/m²)

  

Jawab:
Massa, m = 15 kg
Panjang kawat, l = 1,0 m
kecepatan angular, ω = 2 putaran/s = 2 x 2π rad/s = 12,56 rad/s
Luas penampang kawat, A = 0,060 cm² = 0,06 × 10^-4m²
Pertambahan  panjang kawat saat benda berada pada titik paling rendah.
Bila benda berada pada titik terendah lingkaran vertikal, gaya pada benda adalah:
F = mg + mlω² = 15 × 9.8 + 15 × 1 × (12.56)² = 2513.304 N
Kita tahu, modulus Young = Stress / StrainY = (F/A)/(Δl/l)∴ Δl = Fl/AY
Juga modulus muda untuk baja = 2 × 10¹¹ Pa
=> Δl = (2513.304 × 1)/(0,06 × 10^-4 × 2 × 10¹¹) = 2,09 × 10^-3 m

Karena itu, kenaikan kawat adalah 2,09 × 10^-3 m.