Kontraksi Panjang (length contaction)

Tidak hanya interval waktu antara dua peristiwa bergantung pada kerangka acuan pengamat, tetapi jarak antara dua titik juga mungkin bergantung pada kerangka acuan pengamat. Konsep simultanitas yang terlihat. Misalnya Anda ingin mengukur panjang mobil yang bergerak. Salah satu cara melakukannya adalah dengan memiliki dua asisten untuk membuat tanda pada jalan yang beraspal di posisi bumper depan dan belakang. Kemudian Anda mengukur jarak antara tanda tersebut. Tetapi  asisten-asisten Anda harus membuat tanda mereka pada waktu yang sama. Jika salah satu menandai posisi bumper depan pada satu waktu dan tanda lainnya posisi bumper belakang setengah detik kemudian, Anda tidak akan mendapatkan panjang mobil yang sebenaranya. Karena kita telah mempelajari bahwa simultanitas  bukan merupakan suatu konsep yang mutlak, kita harus melanjutkan dengan hati-hati. Untuk mengembangkan hubungan antara panjang yang diukur sejajar dengan arah gerak dalam berbagai sistem koordinat, kita menganggap eksperimen lain yang terpikirkan. Kita memasang suatu sumber cahaya pada salah satu ujung penggaris dan cermin pada ujung penggaris lainnya. Penggaris itu dalam keadaan diam dalam kerangka acuan S’ dan panjangnya dalam kerangka ini adalah l₀ (Gambar.1a).

Gambar 1: (a) pulsa cahaya yang diukur oleh S' (Nadya) dan (b) pulsa cahaya yang diukur oleh S (Stephen)

Maka waktu ∆t’ yang dibutuhkan sebuah pulsa cahaya untuk melakukan perjalanan pulang-pergi dari sumber ke cermin dan kembali ke sumber adalah 

 

Ini adalah interval waktu yang tepat karena keberangkatan dan kembali terjadi pada saat yang sama di S’.Dalam kerangka acuan S penggaris bergerak ke kanan dengan kecepatan u selama perjalanan dari pulsa cahaya itu(Gambar.1b). Panjang penggaris itu dalam S adalah l dan Waktu perjalanan dari sumber ke cermin, yang diukur dalam S, adalah ∆t₁ bergerak sejauh u∆t₁. Panjang total lintasan dari sumber ke cermin bukan l tetapi sama dengan 

d = l + u∆t₁ 

pulsa cahaya itu berjalan dengan laju c, sehingga benar juga bahwa 

d = c∆t₁ 

maka kita dapatkan bahwa 

c∆t₁ = l + u∆t₁ 

atau

 

(dengan membagi jarak l dengan c – u tidak berari bahwa cahaya itu berjalan dengan laju c – u, tetapi hal itu berarti bahwa jarak yang ditempuh oleh pulsa itu dalam S lebih besar daripada l).Dengan cara yang sama kita dapat memperlihatkan bahwa waktu ∆t₂ untuk perjalanan kembali dari cermin ke sumber adalahWaktu total ∆t = ∆t₁ + ∆t₂ untuk perjalanan pulang pergi, seperti yang diukur dalam S adalah

 

Kita juga mengetahui bahwa ∆t dan ∆t’ dihubungkan oleh persamaan ∆t = ∆t’/γ, karena ∆t’ adalah

 

waktu sesungguhnya (proper time) dalam S’. Jadi waktu untuk perjalanan pulang pergi dalam kerangka diam S’ dari penggaris itu menjadi

 

Akhirnya dengan menggabungkan kedua persamaan terakhir untuk menghilangkan ∆t, kita peroleh

 

Jadi, panjang l yang diukur dalam S, di mana penggaris bergerak adalah lebih pendek daripada panjang l₀ yang diukur dalam kerangka diamnnya S’. Catatan: ini bukanlah suatu ilusi optis! Memang benar adanya bahwa penggaris itu lebih pendek dalam kerangka acuan S daripada dalam kerangka diamnya S’. Sebuah panjang yang diukur dalam kerangka di mana benda itu diam dinamakan panjang sesungguhnya (proper time). Jadi l₀ adalah panjang sesungguhnya dalam S’ dan panjang yang diukur dalam kerangka lain yang bergerak relatif terhadap S’ lebih kecil daripada l₀. Efek ini dinamakan kontaksi panjang yang didefinisikan dalam persamaan terakhir di atas.

Paradoks Kembar

Suatu kejadian yang menarik dari masalah pemuluran waktu adalah gejala yang terkenal dengan sebutan paradoks kembar. Misalnya ada 2 orang kembar, Michelle dan Andreas. Michelle pergi berpetualang saat berumur 30 tahun menuju ke sebuah planet X yang berjarak 30 tahun cahaya dari bumi. Pesawat antariksanya dapat dipercepat sampai mencapai kelajuan cahaya. Setelah tiba di planet X, Michelle menjadi sangat rindu dengan rumahnya dan segera kembali ke Bumi dengan kelajuan sangat tinggi yang sama. Ketika tiba di Bumi, Michelle sangat terkejut karena melihat kota yang ditinggalkannya telah berubah menjadi kota supermodern dan saudara kembarnya, Andreas, telah berusia 75 tahun dan menderita sakit tua. Michelle sendiri hanya bertambah usia 10 tahun menjadi 40 tahun. Ini terjadi karena proses biologi dalam tubuhnya mengalami perlambatan selama perjalanannya mengarungi antariksa.

Letak paradoksnya adalah: dari kerangka acuan Andreas, dia adalah diam sementara saudaranya Michelle bergerak degan kecepatan sangat tinggi. Pada pihak lain, menurut Michelle, dia adalah diam sementara saudara kembarnya di bumi bergerak menjauhinya kemudian mendekatinya.

Pemecahan masalah paradoks tersebut bergantung pada ketidaksimetrisan kehidupan pasangan kembar itu. Dalam seluruh hidupnya, Andreas yang di Bumi selalu berada dalam kerangka acuan inersial, kecuali periode singkat ketika Michelle membalikkan pesawatnya menuju Bumi, tetapi periode ini dapat diabaikan. Dengan demikian, perhitungan Andreas sebagai acuan dalam menghitung selang waktu perjalanan Michelle adalah sah (benar) menurut teori relativitas khusus. Sebaliknya, Michelle mengalami sederetan percepatan dan perlambatan selama perjalanannya ke planet X dan kembali ke rumah, dan karena itu ia tidak selalu dalam gerak lurus beraturan. Ini berarti Michelle berada dalam suatu kerangka acuan non-inersial selama sebagian waktu dari perjalanannya, sehingga perhitungan selang waktu berdasarkan teori relativitas khusus adalah tidak sah dalam kerangka acuan ini. Jadi, kesimpulan yang benar adalah petualang angkasa selalu lebih muda ketika kembali ke Bumi.

Dilasi waktu

Fakta bahwa pengamat dalam kerangka inersia yang berbeda selalu mengukur interval waktu yang berbeda antara sepasang peristiwa dapat diilustrasikan dengan cara lain dengan mempertimbangkan kendaraan bergerak ke kanan dengan kecepatan v, seperti pada Gambar 1a. 

Gambar 1: Gerak menurut kerangka O' (b) gerak menurut kerangka O

Sebuah cermin dipasang tetap di langit-langit kendaraan, dan pengamat O’, saat diam dalam sistem ini, memegang laser pada jarak d di bawah cermin. Laser memancarkan pulsa cahaya yang diarahkan cermin (peristiwa 1), dan pada beberapa waktu kemudian, setelah dipantulkan dari cermin, pulsa cahaya tiba kembali di laser (peristiwa 2). Pengamat O‘ membawa jam C, yang ia gunakan untuk mengukur interval waktu ∆t’ antara kedua peristiwa. Karena pulsa cahaya memiliki kecepatan sebesar c, waktu yang dibutuhkan untuk perjalanan dari O’ ke cermin dan kembali lagi dapat ditemukan dari definisi kecepatan:

Interval waktu ∆t’, diukur oleh pengamat O’, yang membawa jam C dari kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan v.

Sekarang perhatikan peristiwa yang sama seperti yang dilihat oleh pengamat O dalam kerangka acuan kedua (Gambar. 1b). Menurut pengamat O (kerangka acuan inersial/ kerangka acuan yang diam), cermin dan laser yang pindah ke kanan dengan kecepatan v, dan sebagai hasilnya, urutan kejadian yang muncul berbeda untuk Pengamat O. Pada saat cahaya dari laser mencapai cermin, cermin telah pindah ke kanan jarak v∆t/2, di mana ∆t adalah interval waktu yang diperlukan pulsa cahaya untuk berpindah dari O ke cermin dan kembali yang diukur dengan O. Dengan kata lain, O menyimpulkan bahwa, karena gerakan kendaraan, jika pulsa cahaya sampai ke cermin, pulsa cahaya harus meninggalkan laser pada sudut tertentu terhadap arah vertikal. Membandingkan gambar 1.a dan 1.b, kita melihat bahwa cahaya melakukan perjalanan lebih jauh di (b) dari pada di (a). (Perhatikan bahwa setiap pengamat tidak tahu bahwa dia sedang bergerak. Setiap pengamat diam di dalam kerangka inersianya sendiri.)

Gambar 2

Menurut postulat kedua relativitas khusus, baik pengamat O dan O’ harus mengukur kecepatan cahaya c yang sama. Karena cahaya berpindah lebih jauh menurut pengamat O, maka ∆t, interval waktu yang diukur oleh O lebih panjang dari interval waktu ∆t’ diukur oleh pengamat O’. Untuk mendapatkan hubungan antara ∆t dan ∆t’, lebih mudah menggunakan segitiga siku-siku yang ditunjukkan pada gambar 2. Teorema phytagoras memberikan

 

Pecahkan untuk mendapatkan 

 

Karena

Maka

di mana γ = (1 – v²/c²)^-1/2. Karena γ selalu lebih besar dari satu, jadi, menurut pengamat di O jam yang ada di O’ tampak lebih lambat (seolah-olah waktu memuai atau mulur). Efek ini dikenal sebagai dilasi waktu (pemuaian waktu). Interval waktu ∆t’ pada persamaan di atas disebut waktu yang sesungguhnya (proper time). Secara umum, waktu yang sesungguhnya, dilambangkan t_p, didefinisikan sebagai interval waktu antara dua Peristiwa yang diukur oleh pengamat yang melihat peristiwa terjadi pada titik yang sama dalam ruang. Dalam kasus kami, pengamat O’ mengukur waktu yang tepat/sesungguhnya. Artinya, waktu yang tepat/sesungguhnya adalah waktu yang selalu diukur oleh pengamat bergerak bersama dengan jam. Maka persamaan di atas dapat ditulis sebagai

Dilasi waktu adalah fenomena yang sangat nyata yang telah diverifikasi oleh berbagai eksperimen. Misalnya, muon, partikel dasar yang tidak stabil yang memiliki muatan sama dengan elektron dan massa 207 kali dari elektron. 

Gambar 3

Muon secara alami diproduksi oleh tabrakan radiasi kosmik dengan atom di ketinggian beberapa ribu meter di atas permukaan Bumi. Muon memiliki umur hidup hanya 2,2 μs ketika diukur dalam kerangka acuan yang diam terhadap mereka. Jika kita mengambil 2,2 μs (waktu yang tepat) sebagai Rata-rata umur hidup muon dan menganggap bahwa kecepatannya mendekati kecepatan cahaya, kita akan menemukan bahwa partikel-partikel ini bisa menempuh jarak sekitar 650 m sebelum mereka hancur. Oleh karena itu, mereka tidak bisa mencapai atmosfer bumi dari dari tempat mereka diproduksi. Namun, eksperimen menunjukkan bahwa sejumlah besar muon mencapai Bumi. Fenomena dilasi waktu menjelaskan efek ini (lihat Gambar. 3a). Sehubungan dengan pengamat di Bumi, muon memiliki masa hidup γτ dengan τ = 2,2 μs adalah umur hidup dalam kerangka acuan gerakan muon. Sebagai contoh, untuk v = 0.99c, γ = 7,1 dan γτ = 16 μs. Oleh karena itu, rata-rata jarak perjalanan yang diukur oleh pengamat di Bumi adalah v = 4700 m, seperti ditunjukkan dalam Gambar 3b.